Naloge.

Čitaj tá-le števila:

1. 2000, 7000, 5600, 2750, 5904, 1039, 5138, 2718, 38090, 27026, 80912, 12345.

2. 630427, 938824, 732084, 493220, 815500, 408010, 276939, 356805, 1246829, 538191378.

3. Najvišja gora v Avstriji je Ortljev vrh na Tirolskem, čegar nadmorska višina znaša 3917 metrov.

4. Solnce je 1413879 krat toliko kakor naša zemlja.

5. Ako bije žila pri zdravem človeku po 75 krat v jedni minuti, udari v jednem dnevi 108000 krat in v jednem letu 39420000 krat.

6. Ako je krogov premer 1000000000 metrov dolg, ima njega obod 3141592654 metrov.

Zapiši s številkami tá-le z besedami izražena števila:

7. Dva tisoč in štirideset, pet tisoč sedem sto štiri in devetdeset, osem tisoč in tri, tisoč tri sto in deset, dvanajst tisoč pet in dvajset.

8. Svetloba preleti pot od solnca do zemlje, katera je dvajset milijonov šest sto tri in osemdeset tisoč tri sto in deset milj dolga, v osmih minutah in trinajstih sekundah.

9. Ako bi kdo v jedni sekundi jedno štel, potreboval bi, da našteje jeden milijon, jednajst dnij, trinajst ur, šest in štirideset minut in štirideset sekund; da našteje jeden bilijon, potreboval bi jeden in trideset tisoč sedem sto in devet let, dve sto devet in osemdeset dnij, jedno uro, šest in štirideset minut in štirideset sekund.

Izreki o vsotah.

§ 11.

Vsota ostane neizpremenjena, ako sumande med seboj zamenjamo.

a + b = b + a, 4 + 3 = 3 + 4:
a + b + c = a + c + b = b + a + c = b + c + a = ...

Dokaz. Naj uredimo sumande kakor koli, množina njihovih jednot ostane ista; torej ostane tudi vsotna vrednost neizpremenjena.

§ 12.

1.) K vsoti prištejemo število, ako je prištejemo k jednemu sumandu.

(50 + 4) + 30 = (50 + 30) + 4,
(50 + 4) + 3 = 50 + (4 + 3).

V obče:

(a + b) + c = (a + c) + b = a + (b + c) +b.

Dokaz. Ako povečamo jeden sumand za c jednot, povečamo tudi število jednot v vsoti, t. j. vsoto samo za c jednot.

2.) Obrnivši zadnjo jednačbo, dobimo

a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b;

t. j.: K številu prištejemo vsoto, ako prištejemo sumande jednega za druzim.

Tedaj je môči tudi vsoto k vsoti prištevati. N. pr.

(60 + 5) + (20 + 4) = [(60 + 5) + 20] + 4 = [(60 + 20) + 5] + 4 = (60 + 20) + (5 + 4).

Kakó je seštevati istoimenske izraze.

§ 13.

Vsoto, v kateri se nahaja jedno in isto občno število večkrat kot sumand, zaznamenujemo krajše na ta način, da zapišemo občno število le jedenkrat, pred-nje pa postavimo število, kažoče, kolikokrat se nahaja občno število kot sumand; n. pr.

a + a + a + a + a = 5a.

V izrazu 5a zovemo a glavno količino (Hauptgrösse) in 5 koeficijent (Coëfficient).

Koeficijent je lahko tudi občno število; n. pr.

ma = a + a + a + a + ... (mkrat).

Izraze, imajoče isto glavno količino, imenujemo istoimenske (gleichnamig), n. pr. 5a in 6a, 3x in x. Izraze, imajoče različno glavno količino, zovemo raznoimenske (ungleichnamig), n. pr. 3a in 7b, 5x in 5y.

§ 14.

Istoimenske izraze seštejemo, ako seštejemo njih koeficijente ter to vsoto pred skupno glavno količino postavimo.

3a = a + a + a
4a = a + a + a + a

3a + 4a = a + a + a + a + a + a + a = 7a.

Kakó je seštevati dekadna števila.

§ 15.

Vsako večštevilčno dekadno število smatramo lahko za vsoto iz jednic, desetic, stotic i. t. d. Kakó je dekadna števila seštevati, povedó izreki § 12.; le to je še pomniti, da se morejo le jednote jednakega reda seštevati.

V ta namen pišemo sumande takó druzega pod druzega, da pridejo jednice pod jednice, desetice pod desetice, ...; potem seštejemo najprej jednice, potlej desetice, stotice i. t. d. Vsakokratno vsoto

zapišemo, ako je jednoštevilčna, pod seštete jednote; ako je pa vsota katerega koli reda dvoštevilčna, zapišemo le jednice onega reda pod seštete jednote, desetice pa prištejemo k jednotam naslednjega višjega reda. N. pr.

1.) 324 = 300 + 20 + 4
571 = 500 + 70 + l

895 = 800 + 90 + 5.

2.) 6719 = 6 tis. + 7 stot. + 1 des. + 9 jedn.
5348 = 5 tis. + 3 stot. + 4 des. + 8 jedn.
2864 = 2 tis. + 8 stot. + 6 des. + 4 jedn.

14931 = 13 tis. + 18 stot. + 11 des. + 21 jedn.
= 14 tis. + 9 stot. + 3 des. + 1 jedn.

Pri računanji na pamet prištevamo k neizpremenjenemu prvemu sumandu najprej višje in potem nižje jednote druzega sumanda. N. pr.

Koliko je 345 in 136? 345 in 100 je 445, in 30 je 475, in 6 je 481.

Seštevanje jednačeb in nejednačeb.

§ 16.

1.) Jednako k jednakemu prišteto dá jednako.

Ako je a = b,
c = d;
ondaj je a + c = b + d.

Izvira neposredno iz § 7., 5.

2.) Jednako k nejednakemu prišteto in obratno dá nejednako s prav tistim nejednačajem.

Ako je a > b,
c = d;
ondaj je a + c > b + d.

Dokaz. Ker je b manjši od a, treba k b še neko število, recimo x, prišteti, da dobimo a, tedaj a = b + x; ker je pa vsled 1.) a + c = b + d + x in b + d + x > b + d, je tudi a + c > b + d (§ 7., 6).

3.) Nejednako, prišteto k nejednakemu s prav takó postavljenim nejednačajem, dá nejednako s prav tistim nejednačajem.

Ako je a > b,
c > d;
ondaj je a + c > b + d.

Dokaz je prejšnjemu podoben.

Naloge.

Izračunaj vrednost téh-le vsot za a = 2, b = 3, c = 4:

Z zvezdico * zaznamenovane naloge razreši tu in pozneje na pamet.

41. Neka železnica je imela dohodkov: v prvem četrtletji 1270584 gl., v druzem 1583614 gl., v tretjem 1609375 gl., v četrtem 1364227 gl.; koliko vse leto?

42. V četverokotniku merijo koti 73 ° 12 ' 47 ", 88 ° 40 ' 42 ", 67 ° 39 ' 58 " in 130 ° 26 ' 43 "; kolika je njih vsota?

43. Cesar Ferdinand I. je začel vladati v Avstriji dne 2. marcija 1835. l., a vlade se je odrekel čez 13 let 9 mes., kedaj se je to zgodilo?

44. Preširen je bil rojen v Vrbi na Gorenjskem dné 3. decembra l. 1800, umrl pa je 48 let 2 meseca in 5 dnij star; kedaj je umrl?

45. Od jednega ščipa do druzega (sinodski mesec) mine 29 dnij 12 ur 44 minut 3 sek.; ako je tedaj dné 16. aprila ob 8ih 45 min. 35 sek. ščip, kedaj bode prihodnji?

Izreki o diferencah.

§ 19.

Za kolikor zmanjšamo v vsoti jeden nje sumand, za prav toliko se zmanjša tudi vsota.

Od vsote odštejemo tedaj število, ako je od jednega nje sumanda odštejemo.

(70 + 8) – 20 = (70 – 20) + 8,
(70 + 8) – 5 = 70 + (8 – 5).

V obče:

1.) (a + b) – c = (a – c) + b,
2.) (a + b) – c = a + (b – c).

§ 20.

Obrnivši jednačbo 2.) v § 19., dobimo

a + (b – c) = (a + b) – c;

t. j.: K številu prištejemo diferenco, ako minuend prištejemo in subtrahend odštejemo.

Ta izrek uporabljamo pri računanji na pamet. N. pr.

357 + 96 = 357 + (100 – 4) = (357 + 100) – 4 = 457 – 4 = 453.

§ 21.

Za kolikor povečamo minuend, za prav toliko se poveča tudi diferenca. Za kolikor zmanjšamo subtrahend, za prav toliko se poveča tudi diferenca.

K diferenci prištejemo tedaj število, ako je k minuendu prištejemo, ali od subtrahenda odštejemo.

1.) (a – b) + c = (a + c) – b
2.) (a – b) + c = a – (b – c).

Tudi ta izrek uporabljamo pri računanji na pamet. N. pr.

97 + 85 = (100 – 3) + 85 (100 + 85) – 3 = 185 – 3 = 182.

§ 22.

Ako jednačbo 2.) v § 21. obrnemo, dobimo

a – (b – c) = (a – b) + c

t. j.: Od števila odštejemo diferenco, ako minuend odštejemo in subtrahend prištejemo.

Uporaba pri računanji na pamet. N. pr.

543 – 194 = 543 – (200 – 6) = (543 – 200) + 6 = 343 + 6 = 349.

§ 23.

Za kolikor zmanjšamo minuend, za prav toliko se zmanjša tudi diferenca. Za kolikor povečamo subtrahend, za toliko se zmanjša diferenca.

Od diference odštejemo tedaj število, ako je od minuenda odštejemo ali k subtrahendu prištejemo.

1.) (a – b) – c = (a – c) – b,
2.) (a – b) – c = a – (b + c).

Iz druge jednačbe izvira tudi:

Kadar je odšteti dve števili zaporedoma, odšteje se lahko tudi kar ob jednem njiju vsota. N. pr.

(628 – 48) – 52 = 628 – (48 + 52) = 628 – 100 = 528.

§ 24.

Ako jednačbo 2.) v § 23. obrnemo, dobimo

a – (b + c) = (a – b) – c, 13 – (4 + 5) = (13 – 4) – 5;

t. j.: Od števila odštejemo vsoto, ako sumande zaporedoma odštejemo.

Vsled tega je môči tudi vsoto od vsote odštevati. N. pr.

(90 + 7) – (20 + 5) = (90 – 20) + (7 – 5),
(700 + 40 + 8) – (200 + 30 + 5) = (700 – 200) + (40 – 30) + (8 – 5).

§ 25.

Ako povečamo jeden sumand za 1, 2, 3, ..., poveča se tudi vsota za prav toliko. Ako zmanjšamo drugi sumand za 1, 2, 3, ..., zmanjša se vsota za prav toliko. Ako torej obe izpremembi ob jednem izvršimo, dobimo zopet prvotno vrednost vsote.

Odtod izvira:

Vsota ostane neizpremenjena, ako k jednemu nje sumandu katero koli število prištejemo in od druzega sumanda isto število odštejemo.

V obče: a + b = (a + m) + (b — m),
a + b = (a – m) + (b + m).

Uporaba pri računanji na pamet. N. pr.

37 + 45 = 40 + 42 = 82,
36 + 49 = 35 + 50 = 85.

§ 26.

Ako povečamo minuend in subtrahend za 1, 2, 3, ..., poveča se diferenca zaradi novega minuenda za 1, 2, 3, ..., a zaradi večjega subtrahenda se ob jednem za prav toliko zmanjša; nje prvotna

vrednost ostane tedaj neizpremenjena. Ako zmanjšamo minuend in subtrahend za 1, 2, 3, ..., zmanjša se diferenca zaradi novega minuenda za 1, 2, 3, ..., a ob jednem se zaradi manjšega subtrahenda za prav toliko poveča; nje vrednost ostane torej neizpremenjena.

Odtod izvira:

Diferenca ostane neizpremenjena, ako k minuendu in subtrahendu isto število prištejemo, ali od obeh isto število odštejemo.

V obče: a – b = (a + m) – (b + m),
a – b = (a – m) – (b – m).

Uporaba pri računanji na pamet. N. pr.

76 – 28 = 78 – 30 = 48,
95 – 32 = 93 – 30 = 63.

§ 27.

Istoimenske izraze odštejemo, ako diferenco koeficijentov pred skupno glavno količino postavimo.

5a – 2a = 3a.

Dokaz. Ako je 3a prava diferenca števil 5a in 2a, dobiti moramo minuend, ako prištejemo k nji subtrahend. In res je 3a + 2a = 5a.

Kakó je mnogočlenske izraze seštevati in odštevati.

§28.

Kadar je več števil z znaki + ali – združenih in je treba naznačene račune v istem redu od leve proti desni izvršiti, kakor se nahajajo ona števila s svojimi znaki, takrat se oklepaji vselej lahko izpusté, ne da bi trpela določenost. Tedaj je

[(a + b) + c] + d = a + b + c,
[(a – b) + c] – d = a – b + c – d,
[(a – b) – c] – d = a – b – c – d.

Izraz, ki ima več z znakom + ali – združenih sestavin, zovemo mnogočlensk izraz ali polinom (mehrgliedriger Ausdruck, Polynom); števila, katera treba prišteti, imenujemo njega aditivne člene (additive Glieder), in ona, katera treba odšteti, njega subtraktivne člene (subtractive Glieder). Člen brez znaka je aditiven.

Dvočlensk izraz imenujemo dvočlenec ali binom (Binom), tročlensk izraz pa tročlenec ali trinom (Trinom). Izraz, kateri ima le jeden člen, zovemo jednočlensk izraz ali monom (eingliedriger Ausdruck, Monom).

§ 29.

Iz zgoraj dokazanih izrekov o seštevanji in odštevanji vsot in diferenc in iz tega, kar smo v prejšnjem paragrafu o napisavanji polinomov povedali, izvira:

1.) K številu prištejemo mnogočlensk izraz, ako pripišemo njega člene z neizpremenjenimi znaki k številu. N. pr.

a + (b + c) = (a + b) + c (§ 12., 2) = a + b + c (§ 28.),
a + (b – c) = (a + b) – c (§ 20.) = a + b – c (§ 28.)

2.) Od števila odštejemo mnogočlensk izraz, ako pripišemo njega člene z nasprotnimi znaki k številu. N. pr.

a – (b + c) = (a – b) – c (§ 24.) = a – b – c (§ 28.),
a –(b – c) = (a – b) + c (§ 22.) = a – b + c (§ 28.)

§ 30.

Izvodi. 1.) Oklepaje lahko vselej odpravimo. V ta namen treba le, kadar stoji pred oklepajem znak +, oklepaj brez vsake izpremembe izpustiti, kadar stoji pa znak –, vsem členom, ki so bili med oklepajem, nasprotne znake dati.

Tako izpremembo imenujemo razreševanje oklepajev (Klammernauflösung). N. pr.

a – {5b – [(3a + 2c) – 2b] + (2a – 4c)}
= a – 5b + [(3a + 2c) – 2b] – (2a – 4c)
= a – 5b + (3a + 2c) – 2b – 2a + 4c
= a – 5b + 3a + 2c – 2b – 2a + 4c.

2.) Obratno pa denemo lahko tudi v vsacem mnogočlenskem izrazu več členov med oklepaj in to takó, da zapišemo med oklepaj vse člene z neizpremenjenimi znaki, kadar stoji oklepaj za znakom +, in vsak člen z nasprotnim znakom, kadar stoji oklepaj za znakom –. N. pr.

x + 2a – 3b + 4c = x + (2a – 3b + 4c),
x – 2a + 3b – 4c = x – (2a – 3b + 4c).

Mnogočlensk izraz lahko skrčimo (reducieren), ako ima več istoimenskih števil. V ta namen seštejemo najprej aditivne,

potem subtraktivne istoimenske člene ter drugo vsoto od prve odštejemo. N. pr.

6a – 5a – 3a + 8a – 2a = (6a + 8a) – (5a + 3a + 2a) = 14a – 10a = 4a.

Kakó je odštevati dekadna števila.

§ 31.

Odštevanje dekadnih števil se opira na izreke, dokazane v §§ 19., 24. in 26.

Subtrahend pišemo takó pod minuend, da pridejo jednice pod jednice, desetice pod desetice, ...; potem odštejemo najprej jednice, potlej desetice, stotice i. t. d. in to takó, da prištejemo k vsaki subtrahendovi številki toliko jednot, da dobimo nad njo stoječo minuendovo številko; vsakokrat prišteto številko zapišemo na dotično mesto v ostanek. Ako je katera subtrahendova številka večja nego nad njo stoječa v minuendu, ondaj povečamo zadnjo za 10 ter odštejemo; da pa ostane diferenca neizpremenjena, treba potem povečati tudi številko naslednjega višjega reda v subtrahendu za 1 (§ 26.) N. pr.

1.) 978 = 900 + 70 + 8
265 = 200 + 60 + 5

713 = 700 + 10 + 3

2.) 3582 3 tis. + 15 stot. + 8 des. + 12 jedn.
1853 2 tis. + 8 stot + 6 des. + 3 jedn.

1729 = 1 tis. + 7 stot. + 2 des. + 9 jedn.

Tu smo povečali minuend in subtrahend za 10 jednic = 1 des., in za 10 stot. = 1 tis.

Pri odštevanji na pamet odštevamo od neizpremenjenega minuenda najprej stotice, potem desetice in slednjič jednice. N. pr.

Koliko je 791 menj 548? 791 menj 500 je 291, menj 40 je 251, menj 8 je 243.

Dostikrat je môči tudi izrek § 26. ugodno uporabiti. N. pr. 853 – 298 = 855 – 300 = 555.

Odštevanje jednačeb in nejednačeb.

§ 32.

1.) Jednako od jednakega odšteto dá jednako.

Ako je a = b in c = d, ondaj je tudi a – c = b – d. Izvira neposredno iz § 7., 5.

2.) Jednako od nejednakega odšteto dá nejednako s prav tistim nejednačajem.

Ako je a > b in c = d, ondaj je a – c > b – d.

Dokaz. Ako bi ne bilo a – c > b – d, moralo bi biti a – c ≤ b – d; a potem bi moralo biti tudi (a – c) + c ≤ (b – d) + d (§ 16., 1. in 2.), tedaj a ≤ b (§ 18., 1.), kar pa pogoju nasprotuje.

3.) Nejednako od jednakega odšteto dá nejednako z

nasprotnim nejednačajem.

Ako je a = b in c > d, ondaj je a – c < b – d.

Dokaz. Ako bi bilo a – c ≥ b – d, moralo bi biti v obeh slučajih (a – c) + c > (b – d) + d (§ 16., 2. in 3.), tedaj a > b (§ 18., 1.), kar pogoju nasprotuje.

4.) Nejednako, odšteto od nejednakega z nasprotnim nejednačajem, dá nejednako s prvim nejednačajem.

Ako je a > b in c < d, ondaj je a – c > b – d.

Dokaz kakor pri 3.)

Naloge.

Izračunaj vrednost téh-le izrazov za a = 4, b = 3:

Izračunaj, uporabljajoč izrek § 26.:

58. Seštej števila 650890, 126604, 531899, 863925, potem pa odštej od vsote zaporedoma prve tri sumande; kolik je ostanek?

Ako treba od danega števila dvoje ali več števil odšteti, ondaj seštej vsa ta števila ter njih vsoto od danega števila odštej. Sicer pa lahko seštevajoč ob jednem tudi odštevaš. V ta namen seštej najprej jednice vseh števil, katere treba odšteti, potem pa poišči, koliko treba k njih vsoti 24 še prišteti, da dobiš naslednje višje število, imajoče na mestu jednic 2, t. j. 32; prav tisto velja za desetice, stotice i. t. d. Računajoč govori: 8, 14, 23, 24 in 8 je 32, ostane 3; 3, 10, 18, 23, 32 in 2 je 34, ostane 3; i. t. d.

63. Mont Blanc v Savoji je 4632 m, Triglav pa 2865 m visok; za koliko je prva gora višja od druge?

64. Oče zapusti starejšemu sinu 6840 gl., mlajšemu pa 1580 gl. menj; koliko dobita oba sinova skupaj?

65. Mesec ni od zemlje zmerom jednako oddaljen; njega najmanjša razdalja iznaša 48020 milj, največja 54680 milj; za koliko je v prvem slučaji zemlji bliže nego v druzem?

66. Praga ima 50 ° 5 ' 20 ", Dunaj 48 ° 12 ' 35 ", Gradec 47 ° 4 ' 2 " in Trst 45 ° 38 ' 8 " zemljepisne širine; za koliko širinskih stopinj je Praga severnejša nego vsaktero ostalih mest?

67. Vodník je bil rojen dne 3. februvarja 1. 1758., umrl pa je dne 8. januvarja 1. 1819.; kolike starosti je tedaj učakal?

68. Cesar Franc Josip I. je bil rojen dne 18. avgusta 1. 1830., vladati pa je začel dne 2. decembra l. 1848.; a) koliko let je imel tedaj? b) koliko jih ima danes? c) koliko časa vlada že?

Izreki o produktih.

§ 34.

Produkt se neizpremeni, ako faktorja med seboj zamenjamo.

Vzemimo, da sta n. pr. 5 in 3 dana faktorja. Ako razstavimo 5 na pet jednot in te v horizontalni vrsti predočimo ter potem 3 take vrste drugo pod drugo napišemo,

1 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1

dobimo očividno prav toliko jednot, naj že seštejemo jednote vseh horizontalnih ali jednote vseh vertikalnih vrst. V prvem slučaji dobimo 5 jednot 3krat, ali 5.3; v drugem 3 jednote 5krat, ali 3.5. Tedaj je 5.3 = 3.5.

V obče: a.b = b.a.

Ta izrek velja tudi za več faktorjev. Kajti v produktu iz več faktorjev moremo po dva in dva sosedna faktorja med seboj zamenjati, pustivši druge na njihovem mestu; na tak način moremo tedaj vse zamenjati. Takó je n. pr. za tri faktorje

a.b.c = a.c.b = c.a.b = c.b.a = b.c.a = b.a.c.

Tedaj je tudi za produkt iz več faktorjev vse jedno, v katerem redu jih množimo.

Dostavek. a) Da bode veljal prejšnji izrek v obče, treba, da je tudi 1.a = a.1 in 0.a = a.0. Na ta način pa dobita tudi

izraza a.l in a.0 natančno določen pomen, katerega dosedaj nista imela, kajti pojem o množenji ga ne kaže. Dobimo namreč

a.1 = l.a = a in a.0 = 0.a = 0, t. j.:

1.) Vsako število, z 1 pomnoženo, dá samo sebe za produkt.

2.) Vsako število, z 0 pomnoženo, dá 0 za produkt.

b) Koeficijent moremo smatrati za faktor glavne količine.

3a = a + a + a = a.3.

§ 35.

1.) Produkt pomnožimo s številom, ako jeden faktor pomnožimo.

(ab).c = (ac).b = a.(bc).

Dokaz. Ker je

a.b.c = a.c.b = b.c (§ 34.),

je tudi (a.b).c = (a.c).b = a.(b.c) (§ 33., 2.)

N. pr. (20.4).5 = (20.5).4 = 20.(4.5).

Izvod. Število pomnožimo z dvema številoma, ako je v katerem koli redu z vsakim posamič, ali kar ob jednem z njiju produktom pomnožimo.

2.) Število pomnožimo s produktom, ako je pomnožimo z jednim faktorjem in dobljeni produkt še z druzim faktorjem.

a.(bc) = (ab).c = (ac)b.

Dokaz izvira neposredno iz 1.

N. pr. 8.(10.3) = (8.10).3 = (8.3).10.

§ 36.

1.) Vsoto pomnožimo s številom, ako vsak sumand s številom pomnožimo in dobljene delske produkte seštejemo.

(a + b).c = ac + bc.

Dokaz.

(a + b).c = (a + b) + (a + b) + (a + b) + ... (ckrat)
= a + b + a + b + a + b + ... (ckrat)
= a + a + a + ... (ckrat) + b + b + b + ... (ckrat)
= ac + bc.

N. pr. (30 + 6).7 = 30.7 + 6.7,
(200 + 80 + 3).5 = 200.5 + 80.5 + 3.5.

2.) Diferenco pomnožimo s številom, ako pomnožimo s številom minuend in subtrahend ter drugo diferenco od prve odštejemo.

(a – b).cac – bc.

Dokaz.

(a – b).c = (a – b) + (a – b) + (a – b) + ... (ckrat)
= [a + a + a + ... (ckrat)] – [b + b + b + ... (ckrat)]
= ac – bc.

Uporaba pri računanji na pamet. N. pr.

87.2 = (90 – 3).2 = 90.2 – 3.2 = 180 – 6 = 174.

§ 37.

Obrnivši jednačbi § 36., dobimo

ac + bc = (a + b).c,
ac – bc = (a – b).c;

t. j. produkte, imajoče skupen faktor, seštejemo ali odštejemo, ako pomnožimo s skupnim faktorjem oziroma vsoto ali diferenco njihovih neskupnih faktorjev.

Ta račun zovemo izločevanje (Herausheben) skupnega faktorja.

§ 38.

1.) Število pomnožimo z vsoto, ako je z vsakim sumandom pomnožimo ter delske produkte seštejemo.

a.(b + c) = ab + ac.

Dokaz. a.(b + c) = (b + c).a (§ 34.) = ba + ca (§ 36., 1.)
= ab + ac (§ 34.)

N. pr. 68.(50 + 3) = 68.50 + 68.3.

2.) Število pomnožimo z diferenco, ako je z minuendom in subtrahendom pomnožimo ter drugi delski produkt od prvega odštejemo.

a.(b – c) = ab – ac.

Dokaz je prejšnjemu podoben.

Ta izrek se dá pri računanji s posebnimi števili dostikrat prav ugodno uporabiti. N. pr.

346.299 = 346.(300 – 1) = 346.300 – 346.1,
758.994 = 758.(1000 – 6) = 758.1000 – 758.6.

O produktih iz jednakih faktorjev.

§39.

Produkt, čegar faktorji so jednaki, zaznamenujemo krajše takó, da zapišemo samo jeden tak faktor in k temu zgoraj na desno število, katero kaže, kolikokrat je le-tá, faktor postaviti; n. pr.

a.a.a.a.a = a3

Produkt iz več jednakih faktorjev zovemo potenco ali vzmnož (Potenz); število, katero kaže, koliko je jednakih faktorjev, imenujemo potenčni eksponent ali tudi kar eksponent (Potenzexponent), faktor pa podlogo, osnovno število ali koren (Basis, Grundzahl, Wurzel). V potenci am, katero čitamo: »a na mno« (potenco povišan ali vzmožen) ali »a z m vzmnožen«, je a podloga, m eksponent. Drugo potenco a2 imenujemo tudi kvadrat, tretjo a3 kub števila a.

N. pr. 10.102 = 100,
10.10.10 = 103 = 1000,
10.10.10.10 = 104 = 10000, i. t. d

Vsako število a smatramo za prvo potenco od a; tedaj a = a1, 10 = 101.

Kadar se nahaja v mnogočlenskem izrazu več potenc iste podloge, urejamo jih navadno, da posamične člene lažje pregledamo, po potenčnih eksponentih one podloge. V ta namen denemo na prvo mesto najvišjo potenco in za to nižje in nižje potence, ali pa postavimo najprej člen brez potence ali z najnižjo potenco skupne podloge in potem višje in višje potence. V prvem slučaji pravimo, da je polinom urejen po padajočih (fallend), v druzem po rastočih (steigend) potencah skupne podloge. Takó dobi n. pr. izraz

3x2 + 4 + 5x – 6x3 + x4,

urejen po padajočih potencah, tó-le obliko:

x4 – 6x3 + 3x2 + 5x + 4,

in urejen po rastočih potencah, tó-le:

4 + 5x + 3x2 – 6x3 + x4.

§ 40.

Potence iste podloge pomnožimo, ako vzmnožimo skupno podlogo z vsoto eksponentov.

a5.a3 = aaaaa.aaa = a8.

V obče: am.an = am+n.

Kakó je množiti mnogočlenske izraze.

§ 41.

1.) Mnogočlensk izraz pomnožimo s številom, ako pomnožimo s številom vsak njegov člen ter posamičnim produktom damo znake dotičnih multiplikandovih členov.

(a – b – c + d – e).f = af – bf – cf + df – ef.

2.) Število pomnožimo z mnogočlenskim izrazom, ako je pomnožimo z vsakim njegovim členom ter posamičnim produktom damo znake dotičnih multiplikatorjevih členov.

a.(b – c – d + e – f) = ab – ac – ad + ae – af.

3.) Polinom pomnožimo s polinomom, ako pomnožimo ves multiplikand, t. j. vsak njegov člen z vsakim multiplikatorjevim členom ter gledé posamičnih produktov pomnimo, da so aditivni, ako imata dotična faktorja jednaka, in subtraktivni, ako imata različna računska znaka.

(a – b + c) (d – e – f)
= ad – bd + cd – ae + be – ce – af + bf – cf.

Resničnost teh treh izrekov izvira iz §§ 36. in 38.

Izvod. Pomni posebno

1.) (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2,
(a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – 2ab + b2:

t j.: Kvadrat binoma je jednak kvadratu prvega člena, več ali menj dvojnemu produktu obeh členov, več kvadratu druzega člena.

2.) (a + b) (a – b) = a2 – b2,

t. j.: Produkt iz vsote in diference dveh števil je jednak diferenci kvadratov onih dveh števil.

§ 42.

Ako imajo polinomi, katere treba druzega z druzim pomnožiti, potence iste podloge, treba jih najprej na isti način uredili. Ako pomnožimo potem ves multiplikand z vsakim multiplikatorjevim členom, dobimo delske produkte, ki so prav takó

urejeni. Da te delske produkte potem lažje skrčimo, pišemo jih takó, da pridejo istoimenski členi drug pod druzega. N. pr.

§ 43.

Izreki prejšnjih paragrafov učé, da je produkt dveh členov katerih koli izrazov takó-le določevati:

1.) Oziraje se na znak vzemi produkt aditiven ali subtraktiven, kakor imata dotična dva člena jednak ali različen znak.

2.) Koeficijent produkta je jednak produktu obeh koeficijentov; kajti

3a.4b = 3.a.4.b = 3.4.a.b = 12ab.

3.) Glavno količino produkta dobiš, ako glavni količini faktorjev (v abcédnem redu) drugo poleg druge zapišeš, in pri potencah iste podloge skupno podlogo z vsoto eksponentov vzmnožiš.

Kakó je množiti dekadna števila.

§ 44.

Dekadno število pomnožimo z 10, 100, 1000, ..., ako mu na desni oziroma 1, 2, 3, ... ničle pripišemo.

Kajti, ako mu na desni 1, 2, 3, ... ničle pripišemo, pride vsaka številka oziroma za 1, 2, 3, ... mesta dalje proti levi ter dobi na ta način 10krat, 100krat, 1000krat, ... toliko vrednost (§ 8.); zatorej postane tudi število samo (§ 36., 1.) 10krat, 100krat, 1000krat, ... toliko. N. pr.

376.10 = 3760, 583.1000 = 583000.

V obče pomenja A.10m dekadno število, čegar številčna vrsta A ima na desni m ničel.

Dostavek. Vsako dekadno število moremo smatrati za polinom, urejen po padajočih potencah števila 10. N. pr.

6547 = 6000 + 500 + 40 + 7
= 6.103 + 5.102 + 4.10 + 7.

Red (Rang) vsake posamične številke določuje eksponent one potence od 10, katere koeficijent je dotična številka; vsled tega moremo ta eksponent števila 10 tudi redovni eksponent (Rangexponent) številke imenovati. N. pr. v številu 6547 je 1 redovni eksponent številke 4 in 3 redovni eksponent najvišje številke 6.

V vsakem dekadnem številu je redovni eksponent najvišjega mesta za 1 manjši od števila številk.

Tedaj je

r.10m–1 + p.10m–2 + ... + c.102 + b.10 + a

občni izraz mštevilčnega dekadnega števila, imajočega a jednic, b desetic, ... r jednot (m – 1) reda.

§ 45.

Ako je M = e.104 + d.103 + c.102 + b.10 + a, ondaj je
M.p = ep.104 + dp.103 + cp.102 + bp.10 + ap.

Večštevilčno število pomnožimo tedaj z jednoštevilčnim, ako multiplikandove jednice, desetice, stotice, ... z multiplikatorjem pomnožimo ter posamične produkte pod pomnožene multiplikandove številke zapišemo.

Ako je kateri koli teh produktov dvoštevilčen, n. pr. cp = r.10 + s, ondaj zapiši na to mesto le nižjo številko s, višjo r pa prištej k produktu naslednjega višjega mesta. N. pr.

Računajoč na pamet pomnoži z jednoštevilčnim multiplikatorjem najprej višje in potem nižje jednote. N. pr.

Koliko je 6krat 78? 6krat 70 je 420, 6krat 8 je 48; 420 in 48 je 468.

Kadar je ceno kaki stvari s pomočjo množenja izračunati, ondaj kaže dostikrat ceno jednote razložiti na desetice in krajcarje. N. pr.

1 kg velja 64 kr.; koliko velja 9 kg?
9 kg po 64 kr.

9 kg po 6 desetic velja 9krat 6 des. = 54 d. = 5 gl. 40 kr.
9 kg po 4 kr. velja 9krat 4 kr. = ..... 36 kr.

vsega skupaj 5 gl. 76 kr.

§ 46.

Ako je M večštevilčno število in

N = p.103 + r.102 + s.10 + t, ondaj je
M.N = Mp.103 + Mr.102 + Ms.10 + Mt.

Dve večštevilčni števili pomnožimo torej drugo z druzim, ako pomnožimo multiplikand z vsako multiplikatorjevo številko, z jednicami začenši, ter dobljene delske produkte po vrsti še z rastočimi potencami števila 10, pomaknivši v ta namen vsak naslednji produkt za jedno mesto dalje proti levi; delske produkte treba potem še sešteti, in to kakor stojé. N. pr.

Ako začnemo množiti z najvišjo multiplikatorjevo številko, ondaj treba vsak naslednji produkt za jedno mesto dalje proti desni pomakniti.

Množenje jednačeb in nejednačeb.

§ 47.

1.) Jednako z jednakim pomnoženo dá jednako.

Ako je a = b in c = d, ondaj je tudi ac = bd.

Izvira neposredno iz § 7., 5.

2.) Jednako z nejednakim pomnoženo dá nejednako z istim nejednačajem.

Ako je a = b in c > d, ondaj je ac > bd.

Dokaz. Vzemimo, da je c = d + x, potem je po 1.) ac = b(d + x), ali ac = bd + bx; toda bd + bx > bd (§ 7., 3.), tedaj tudi ac > bd (§ 7., 6.)

3.) Nejednako, pomnoženo z nejednakim s prav takó postavljenim nejednačajem, dá nejednako s tistim nejednačajem.

Dokaz je prejšnjemu podoben.

Naloge.

Izloči v naslednjih nalogah skupni faktor:

Seštej:

Odštej:

45. Izračunaj vrednost izrazu:

101. Pomnoži a) 358, b) 509, c) 2977, d) 8070 z 10, 100, 1000, 10000.

102.* Koliko je 3krat 21? 2krat 36? 4krat 41? 7krat 69?

103.* Koliko je 2krat 180? 4krat 213? 3krat 236? 6krat 149?

104. Pomnoži a) 875, b) 2168, c) 15786, d) 357986 z 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8.

107. Koliko je 15krat 40? 12krat 27? 21krat 43? 13krat 34?

120. Pomnoži 928386 a) s 386, b) s 7405, c) s 91034.

121. Izračunaj A = ab, B = ac, C = ad, D = bc, E = bd, F = cd za a = 325694, b = 547816, c = 769039, d = 981256.

133.* Izračunaj, uporabljajoč izrek § 35., 2.: a) 73.24, b) 17.18, c) 23.32, d) 19.42, e) 29.35.

146.* Koliko velja a) 8 l po 72 kr.? b) 18 kg po 46 kr.?

147.* Koliko velja a) 9 m po 1 gl. 82 kr.? b) 12 hl po 20 gl. 38 kr.?

148. V Avstro-Ogerski se izkoplje vsako leto poprek po 37180 kg čistega srebra; koliko goldinarjev, po 90 na 1 kg, je môči iz njega nakovati?

149. Zračni tlak na 1 dm2 iznaša 103 kg 320 g; kolik je tlak na 1 m2?

150. Nekdo prehodi vsako minuto poprek po 83 m; koliko mora še prehoditi, ako je že 2 uri hodil in iznaša vsa pot 15 km 310 m?

151. Avstro-ogerska država ima 6225 Mm2; koliko ima prebivalstva, ako se računa na 1 Mm2 poprek po 6395 prebivalcev?

Izreki o kvocijentih.

§ 50.

Produkt razdelimo s številom, ako jeden faktor z njim razdelimo.

1.) (a.b) : c = (a : c).b, (12.9) : 3 = (12 : 3).9;

2.) (a.b) : c = a.(b : c), (12.9) : 3 = 12.(9 : 3).

Dokaz. 1.) Ako je (a : c).b pravi kvocijent števil (a.b) in c, ondaj mora dati, z divizorjem c pomnožen, dividend ab (§ 49., 1.)

Ker pa je

[(a : c).b].c = [(a : c).c].b (§ 35., 1.) = a.b (§ 49., 1), zato je (a : c).b pravi kvocijent.

2.) Prav takó je

[a.(b : c)].c = a.[(b : c).c] (§ 35., 1.) = a.b (§ 49., 1.), tedaj tudi druga razrešitev naloge prava.

Izvod. Ako treba število z druzim številom pomnožiti in s tretjim razdeliti, ondaj je vse jedno, v katerem redu množimo in delimo. N. pr.

(8.100) : 4 = (8 : 4).100.

§ 51.

Število razdelimo s produktom, ako je razdelimo z jednim faktorjem in dobljeni kvocijent še z druzim faktorjem.

1.) a : (b.c) = (a : b) : c, 24: (2.3) = (24 : 2) : 3;

2.) a : (b.c) = (a : c) : b. 24 : (2.3) = (24 : 3) : 2.

Dokaz. Izraza (a : b) : c in (a : c) : b zadostujeta oba § 49., 1., kajti

in prav takó

Izvod. Ako treba število z dvema številoma razdeliti, ondaj je razdelimo lahko z vsakim posamič v katerem koli redu, ali pa kar ob jednem z njiju produktom. N. pr.

§ 52.

Produkt ostane neizpremenjen, ako mu jeden faktor s katerim koli številom pomnožimo in drugi faktor z istim številom razdelimo.

Dokaz.

Ta izrek je môči prav ugodno uporabiti pri računanji s posebnimi števili. N. pr.

§ 53.

Kvocijent ostane neizpremenjen, ako dividend in divizor z istim številom pomnožimo, ali oba dva z istim številom razdelimo.

1.) a : b = am : bm,

2.) a : b = (a : m) : (b : m).

Dokaz. 1.) Vzemimo, da je a : b = k, tedaj a = bk. Ako pomnožimo to jednačbo z m, dobimo am = bkm; razdelivši le-tó jednačbo z bm, dobimo dalje am : bm = k, iz te in prve jednačbe pa

a : b = am : bm.

Dokaz za 2.) je prejšnjemu podoben.

Tudi ta izrek je môči prav ugodno uporabljati. N. pr.

§ 54

Potence iste podloge razdelimo, ako od dividendovega eksponenta odštejemo eksponent divizorjev ter s to diferenco skupno podlogo vzmnožimo.

enačba (§ 49., 1.)

V obče:

ako je m > n.

Dostavek. Ako je m = n, dobimo, uporabljajoč ta izrek, enačba; ker pa potenca, imajoča 0 za eksponent, nima vsled pojma o potenci (§ 39.) nikakeršnega pomena, treba tej novi potenčni obliki pomen še le določiti. Po § 49., 4. je am : am = 1; a0 pomenja tedaj 1.

§ 55.

1.) Vsoto razdelimo s številom, ako vsak sumand s številom razdelimo in dobljene delske kvocijente seštejemo.

Dokaz. enačba

N. pr. enačba.

2.) Diferenco razdelimo s številom, ako minuend in subtrahend s številom razdelimo ter drugi kvocijent od prvega odštejemo.

Dokaz. enačba (§ 49., 1.)

N. pr. (100 – 8) : 4 = (100 : 4) – (8 : 4).

Kakó je deliti polinome.

§ 56.

Polinom razdelimo s številom, ako vsak njegov člen s številom razdelimo ter posamičnim kvocijentom znake dividendovih členov damo.

Resničnost tega izreka dokažeš, uporabljajoč večkrat zaporedoma § 55., 1. in 2.

§ 57.

Kakó je deliti polinom s polinomom, razvideti je najlažje iz načina, kakó postane dividend iz divizorja in kvocijenta ter kakšen je odnošaj med divizorjevimi in kvocijentovimi členi v njiju produktu, t. j. v dividendu. Ako je a + b + c divizor, m + n + p kvocijent, dobimo, ako pomnožimo ter delske produkte druzega pod druzega zapišemo:

Prvi dividendov člen am je produkt iz prvega divizorjevega člena a in prvega kvocijentovega člena m; prvi kvocijentov člen dobimo tedaj, razdelivši prvi dividendov člen s prvim členom divizorjevim. – Ako izračunamo sedaj sestavine, katere je dal m v produktu, pomnoživši ves divizor z m, ter ta produkt od dividenda odštejemo, ondaj je prvi člen an v ostanku produkt iz prvega divizorjevega člena a in druzega kvocijentovega člena n. Drugi kvocijentov člen dobimo torej, razdelivši prvi člen ostanka s prvim divizorjevim členom. – Ako odštejemo od prejšnjega ostanka zopet

delski produkt, katerega je dal n v dividendu, namreč produkt iz vsega divizorja in n, potem je prvi člen ap v novem ostanku produkt iz prvega divizorjevega člena a in tretjega kvocijentovega člena p. Tretji člen kvocijenta dobimo tedaj, razdelivši prvi člen zadnjega ostanka s prvim divizorjevim členom; i. t. d.

Odtod izvajamo, da treba polinom s polinomom takó-le deliti:

Uredivši člene v dividendu in divizorji na isti način, razdeli prvi dividendov člen s prvim divizorjevim členom; na ta način dobiš prvi člen kvocijenta; s tem delskim kvocijentom pomnoži ves divizor in produkt odštej od dividenda. Ako ravnaš z ostankom, katerega treba na isti način urediti, kakor sta bila urejena dividend in divizor, prav takó kakor s prvotnim dividendom, dobiš drugi kvocijentov člen, i. t. d. N. pr.

Pomni posebno:

1.) enačba

t. j. diferenca kvadratov dveh števil, razdeljena z vsoto ali diferenco teh števil, dá za kvocijent oziroma diferenco ali vsoto istih dveh števil.

§ 58.

Oziraje se na prejšnje izreke določuj torej kvocijent dveh členov katerih koli izrazov takó-le:

1.) Gledé na znak vzemi kvocijent aditiven ali subtraktiven, kakor sta oba člena jednako ali različno zaznamenovana. (Izvira iz § 41. in § 49., 2.)

2.) Za koeficijent daj kvocijentu kvocijent iz dividendovega in divizorjevega koeficijenta.

3.) Glavno količino kvocijentovo dobiš, ako izpustiš v dividendu vse one faktorje, katere ima tudi divizor, in to v jednakem številu kakor jih ima divizor.

Kakó deliti dekadna števila.

§59.

Iz izrekov v §§ 56. in 57. izvira, ako so mnogočlenski izrazi dekadna števila, t. j. po padajočih potencah števila 10 urejeni polinomi, da je dvoje dekadnih števil takó-le deliti:

Za prvi delski dividend vzemi toliko najvišjih dividendovih številk, kolikor jih ima divizor ali pa jedno več, ako bi bilo število, ki je one številke izražujejo, manjše od divizorja; na ta način dobiš najvišjo kvocijentovo številko in s to pomnoži ves divizor, produkt pa odštej od prvega delskega dividenda. K ostanku naslednjo dividendovo številko pripisavši določi iz tega novega delskega dividenda drugo kvocijentovo številko in to nadaljuj, dokler nisi vzel vseh dividendovih številk v račun. Pomniti pa je, da mora biti ostanek, katerega pri odštevanji delskih produktov dobiš, manjši od divizorja, kajti sicer bi dobil v kvocijentu še drugo številko istega reda.

N. pr. enačba, krajše: enačba

V druzem slučaji smo delske produkte takój pri množenji odštevali in le ostanke napisavali.

Deljenje jednačeb in nejednačeb.

§ 60.

1.) Jednako z jednakim razdeljeno dá jednako.

Ako je a = b in c = d, potem je tudi a / c = b / d.

Izvira neposredno iz § 7., 5.

2.) Nejednako razdeljeno z jednakim dá nejednako z istim nejednačajem.

Ako je a > b in c = d, ondaj je a / c > b / d.

Dokaz. Ako bi ne bilo a / c > b / d moralo bi biti a / c ≤ b / d; a potem bi bilo enačba (§ 47., 1. in 2.), tedaj tudi a ≤ b (§ 49., 1.), kar pogoju nasprotuje.

3.) Jednako razdeljeno z nejednakim dá nejednako z nasprotnim nejednačajem.

Ako je a = b in c > d, ondaj je a / c < b / d.

Dokaz. Ako bi bilo a / c ≥ b / d, moralo bi biti v obeh slučajih enačba (§ 47., 2. in 3.), tedaj a > b, kar pogoju nasprotuje.

4.) Nejednako, razdeljeno z nejednakim z nasprotnim nejednačajem, dá nejednako s prvim nejednačajem.

Ako je a > b in c < d, ondaj je a / c > b / d.

Dokaz je prejšnjemu podoben.

Naloge.

49. Razdeli 2735000 z 10, 100, 1000.

50.* Kolikokrat je: 3 v 240? 4 v 84? 6 v 186?

51.* Kolikokrat je: 3 v 54? 6 v 72? 7 v 301?

52. Razdeli a) 4240, b) 29680, c) 72080 z 2, 3, 4,6, 7, 8, 9.

Izračunaj, uporabljajoč prikrajške:

68.* Koliko velja 1 m, ako dobiš za 15 gl. 12 kr. a) 6 m, b) 7 m?

69.* Koliko velja 1 l, ako dobiš za 7 gl. 56 kr. a) 9 l, b) 12 l?

70. Ekvator naše zemlje ima 5400 zemljep. milj v obsegu; kakó dolga je 1 ekvatorjeva stopinja?

71. Kranjska ima 100 Mm2 površine in 481243 prebivalcev; koliko prebivalcev pride poprek na 1 Mm2?

72. Česka ima 5560819 prebivalcev, in sicer po 10706 na 1 Mm2; kolika je nje površina?

73. Trgovec plača za 3200 kg sladorja 1784 gl. ter hoče pri vsacih 100 kg 4 gl. 25 kr. dobička imeti; po čem mora kg prodajati?

74. Neki oče zapusti 16800 gl. To imenje je med njega ženo, 3 sinove in 3 hčere takó razdeliti, da dobi mati 4 dele, vsak sin po 3 in vsaka hči po 2 jednaka dela. Koliko dobi mati in koliko vsak otrok?

Naloge.

23. Nekdo stopi 65krat naprej, potem 37krat nazaj, potlej pa zopet 48krat naprej; a) kolikokrat je stopil sploh, b) za koliko korakov se je oddalil od prvotnega mesta?

24. Reka sama požene parobrod vsako minuto za 65 m z vodo, parna sila sama pa vsako minuto za 412 m; koliko m prevozi parobrod vsako minuto a) z vodo, b) proti vodi?

Naloge.

Izračunaj enačba

Izračunaj enačba

13. Telo, pomikajoče se v premi črti vsako sekundo za 12 m a) naprej, b) nazaj, je sedaj v točki A; na kateri strani in v kateri razdalji od A bode to telo čez 25 sekund? Na kateri strani in v kateri razdalji od A je bilo to telo pred 25 sekundami?

41.* Toplomer je kazal nekega dne zjutraj – 8 ° R., opoldne + 2 ° R., zvečer – 5 ° R.; kolika je bila poprečna dnevna toplina?

Naloge.

1. Katera izmed števil 3924, 1038, 5016, 8033, 9062, 8752, 16536, 24300, 39235, 74636 so razdelna z 2, katera tudi s 4, in katera niti s 4 niti z 2?

2. Katera izmed števil 352, 1630, 2876, 4756, 9492, 12748, 22062, 25864, 30508 so razdelna z 2, katera tudi s 4, in katera z 8?

3. Katera izmed števil 273, 1540, 5926, 8028, 12345, 20475, 38124, 67089, 705426 so razdelna s 3, katera tudi z 9, in katera niti s 3 niti z 9?

4. S katerimi izmed števil 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25, 100, 125, 1000 so razdelna tá-le števila:

Naloge.

Razstavi tá-le števila na prafaktorje:

Razstavi na dva faktorja, uporabljajoč § 82., 2., a):

Razstavi na faktorje, uporabljajoč § 82., 2., b):

Naloge.

1.* Poišči najv. sk. mero števil a) 12 in 16, b) 15 in 20, c) 40 in 56, d) 72 in 96, e) 45 in 75.

Razstavi ta-le števila na prafaktorje, potem pa poišči njih najv. sk. mero:

Poišči najv. sk. mero téh-le števil, ne razstavljajoč jih na prafaktorje:

637 in 4277.14. 2091 in 1353.

Naloge.

l.* Kolik je najm. sk. mnogokratnik števil a) 8 in 15? b) 10 in 25? c) 24 in 36? d) 12 in 52? e) 30 in 48?

Razstavi naslednja števila na prafaktorje, potem pa poišči njih najm. sk. mnogokratnik:

Poišči na delitveni način najm. sk. mnogokratnik téh-le števil:

1. Občna svojstva ulomkov.

§ 88.

Ako razdelimo jednoto na b jednakih delov, jednaka je vsota vseh teh b delov zopet jednoti; tedaj 1/b.b = 1. Ako vzamemo menj nego b tacih delov, dobimo menj, ako jih pa vzamemo več nego b, dobimo več kakor jednoto.

Ulomek a/b je torej manjši od 1, ako je a < b; jednak 1, ako je a = b; in večji od 1, ako je a > b. N. pr.

Ulomke, katerih vrednost je manjša od 1, katerih števec je tedaj manjši od imenovalca, imenujemo prave ulomke (echte Brüche), vse druge neprave ulomke (unechte Brüche).

Število, sestavljeno iz celega števila in pravega ulomka, zovemo mešano število (gemischte Zahl); n. pr

§ 89.

Ako pomnožimo ulomek z njegovim imenovalcem, dobimo števec za produkt.

a/b.b = a.

Dokaz.

§ 90.

Vsak kvocijent moremo smatrati za ulomek, in obratno vsak ulomek za kvocijent; dividend je ulomkov števec, divizor pa imenovalec.

a : b = a/b.

Dokaz.

§ 91.

Iz pojma o ulomku izvira:

1.) Izmed dveh ulomkov, imajočih isti imenovalec, je oni večji, kateri ima večji števec.

2.) Izmed dveh ulomkov, imajočih isti števec, je oni večji, kateri ima manjši imenovalec.

§92.

Vsak nepravi ulomek je môči pretvoriti na celo ali mešano število; v ta namen treba le števec z imenovalcem razdeliti.

20

V obče:

§ 93.

1.) Vsako celo število je môči pretvoriti na ulomek, čegar imenovalec je dan. V ta namen treba le produkt iz celega števila in danega imenovalca za ulomkov števec vzeti.

2.) Vsako mešano število je môči na ulomek pretvoriti. V ta namen pomnoži celo število z ulomkovim imenovalcem in ta produkt povečaj ali zmanjšaj za števec, kakor je ulomek pozitiven ali negativen; to število je števec, imenovalec ostane neizpremenjen.

§ 94.

Ker moremo vsak ulomek za kvocijent smatrati, le-ta pa neizpremenjen ostane, ako dividend in divizor z istim številom pomnožimo ali razdelimo, zato velja:

Ulomku ostane vrednost neizpremenjena, ako števec in imenovalec z istim številom pomnožimo ali razdelimo.

§ 95.

1.) Uporabljajoč prvi del izreka v § 94., pretvorimo lahko vsak ulomek, ne izpremenivši mu vrednosti, na drugega, ki ima za imenovalec mnogokratnik prejšnjega imenovalca. V ta namen treba le novi imenovalec s prejšnjim razdeliti in s tem kvocijentom prejšnji števec pomnožiti; produkt je novi števec. Recimo, da nam je n. pr. ulomek 4/5 na imenovalec 40 pretvoriti. Tu dobimo

40 : 5 = 8; 4.8 = 32; tedaj 4/5 = 32/40.

Ako bi hoteli ulomek a/2b na imenovalec 4bc pretvoriti, dobili bi

4bc : 2b = 2c; a.2c = 2ac; tedaj a/2b = 2ac/4bc.

Kadar izpreminamo ulomku obliko, množeč njega števec in imenovalec z istim številom, pravimo, da ulomek razširjamo (erweitern).

2.) Ulomke razširjajoč pretvorimo jih lahko tudi več na nov skupen imenovalec, treba le, da je ta imenovalec mnogokratnik vseh danih imenovalcev. Navadno pretvarjamo ulomke na najmanjši skupni imenovalec. V ta namen poiščemo najprej najm. sk. imenovalec. Da dobimo potem novi števec vsakemu ulomku, treba le novi skupni imenovalec s prejšnjim razdeliti ter kvocijent s prejšnjim števcem pomnožiti.

N. pr.

1.) Pretvori ulomke ulomki na najm. sk. imenovalec.

Najm. sk. mnogokratnik vseh imenovalcev, torej najm. sk. imenovalec, je 40, in zaradi tega dobimo

tedaj

2.) Recimo, da nam je pretvoriti ulomke ulomki na najm. sk. imenovalec.

Najm. sk. imenovalec je 4bc2d, tedaj dobimo

§ 96.

Uporabljajoč drugi del izreka v § 94., je môči ulomek, čegar števec in imenovalec sta z istim številom razdelna, okrajšati (abkürzen); v ta namen treba le števec in imenovalec z njiju skupno mero razdeliti. N. pr.

enačbe

Naloge.

Pretvori na cela ali mešana števila:

Pretvori na neprave ulomke:

5.* Pretvori ulomke ulomki na skupni imenovalec 24.

6. Pretvori ulomke ulomki na imenovalec 30abxy.

Pretvori té-le ulomke na najm. sk. imenovalec:

Okrajšaj té-le ulomke:

24. Izračunaj vrednost izrazu ulomek za n = 6, prav takó za n = 8, potem pa dobljena ulomka okrajšaj.

Okrajšaj té-le ulomke:

2. Kakó je ulomke seštevati in odštevati.

§97.

1.) Ulomke jednakih imenovalcev seštejemo, ako seštejemo njih števce ter tej vsoti skupni imenovalec za imenovalec damo.

Dokaz izvira neposredno iz § 55., 1.) in § 90.

N. pr.

2.) Kadar je treba ulomke nejednakih imenovalcev sešteti, ondaj jih pretvori na skupen imenovalec, potem pa uporabi prejšnji izrek. N. pr.

§ 98.

1.) Ulomke jednakih imenovalcev odštejemo, ako subtrahendov števec od minuendovega odštejemo ter tej diferenci skupni imenovalec za imenovalec damo.

Dokaz izvira neposredno iz § 55., 2.) in § 90.

N. pr.

2.) Kadar je treba odšteti ulomke nejednakih imenovalcev, ondaj jih pretvori na skupen imenovalec, potem pa prejšnji izrek uporabi. N. pr.

Naloge.

23. Recimo, da imamo té-le ulomke: ulomki; za koliko je vsota prvih dveh ulomkov manjša od 1? – za koliko vsota prvih treh, štirih, petih, šestih?

3. Kakó je ulomke množiti in deliti.

§ 99.

Ulomek pomnožimo s celim številom, ako z njim števec pomnožimo ali imenovalec razdelimo.

Dokaz

Drugi način je môči le tedaj uporabiti, kadar je ulomkov imenovalec s celim številom razdelen.

Dokaži ta izrek, uporabljajoč § 91., še na téh-le primerih:

§ 100.

Ulomek razdelimo s celim številom, ako z njim števec razdelimo ali imenovalec pomnožimo.

Dokaz. 1.) Ako je izraz ulomek pravi kvocijent, dati mora, z divizorjem m pomnožen, dividend a/b za produkt. In res je

Takisto dokažeš tudi 2.)

Prvi način je môči le tedaj uporabiti, kadar je ulomkov števec s celim številom razdelen.

Dokaži ta izrek, uporabljajoč § 91., še na téh-le primerih:

§ 101.

Vzemimo, da treba n. pr. 5 s 3/4 pomnožiti. Tu bi morali, oziraje se na ono, kar smo v § 33. o množitvi povedali, število 5 3/4krat kot sumand vzeti, to pa očividno nima nikakeršnega zmisla. Treba torej pojem, katerega smo za množenje celih števil prej ustanovili, takó raztegniti, da se bode dal uporabiti tudi za ulomke.

Da pomnožimo 5 s 3, treba vzeti 5 3krat za sumand; da pa pomnožimo 5 s četrtim delom od 3, vzeli bodemo 3krat za sumand ne števila 3 samega, nego njega četrti del; tedaj

Število z ulomkom pomnožiti se tedaj pravi, število na toliko jednakih delov razdeliti, kakor kaže ulomkov imenovalec ter jeden tak del tolikokrat za sumand vzeti, kakor kaže števec.

Naloge praktičnega življenja same kažejo, da nam je na ta način raztegniti pojem o množitvi. Da v obče iz izneska za jednoto najdemo iznesek katere koli istovrstne množine, treba pomnožiti jednotin iznesek s številom, množino izražujočim. Ako velja n. pr. 1 m 5 gl., veljajo števila. Pomen tega produkta je razviden iz razrešitve te naloge; dobimo namreč:

1 m velja 5 gl.;

1/4 m velja četrti del od 5 gl., tedaj 5/4 gl.;

3/4 m veljajo 3krat toliko, kolikor 1/4 m, tedaj števila;

zato je enačba.

Število pomnožimo tedaj z ulomkom, ako je z imenovalcem razdelimo in kvocijent s števcem pomnožimo.

Ako je ulomek a/b pomnožiti z ulomkom m/n, dobimo po prejšnjem izreku

t. j.: Ulomek pomnožimo z ulomkom, ako pomnožimo števec s števcem in imenovalec z imenovalcem. N. pr.

Dostavek. Ako dasta dve števili 1 za produkt, imenujemo vsako izmed njiju obratno ali recipročno (umgekehrt, reciprok) vrednost druzega.

Takó je a.1/a = 1, tedaj 1/a recipročna vrednost števila a,

§ 102.

Ker je v § 48. ustanovljeni pojem o delitvi obče veljaven, izvira iz njega tudi izrek, kakó je deliti z ulomkom, namreč:

Število razdelimo z ulomkom, ako je s števcem razdelimo in kvocijent z imenovalcem pomnožimo, ali ako je z ulomkovo recipročno vrednostjo pomnožimo.

Dokaz. 1.) Ako je izraz enačba pravi kvocijent, dati mora, z divizorjem m/n pomnožen, dividend a za produkt. In res je

2.) Prav takó je tudi

Takisto dokažeš lahko tudi, da je

Dostavek. Ulomek, čegar števec ali imenovalec, ali tudi čegar števec in imenovalec sta zopet ulomka, imenujemo dvojen ulomek ali ulomljen ulomek (Doppelbruch, Bruchbruch).

Vsak dvojen ulomek pretvoriš lahko na jednostavnega, uporabljajoč § 94. ali § 90. N. pr.

enačbe

Naloge.

5.* 1 m velja 4/5 gl.; koliko velja 5, 12, 37, 72 m?

6.* 1 hl velja 23 3/4 gl.; koliko velja 6, 15, 32 hl?

22. Lokomotiva predirja v 4 urah 113 3/5 km; koliko v 1 uri?

23. Koliko hl vina bodeš dobil za 499 1/2 gl., ako je hl po 18 gl.?

38.* Za koliko je produkt ulomkov ulomka manjši nego vsak faktor?

39. Za koliko je produkt ulomkov ulomki manjši nego njih vsota?

40. 1 kg cukra velja 48 kr.; koliko velja ulomki kg?

41. B ima 2 1/2krat toliko denarja kakor A, C 1 1/7krat toliko kakor B, D pa le 3/8krat toliko kakor C; recimo, da ima A 45 3/5 gl.; a) koliko denarja ima vsak izmed ostalih, b) koliko ga imajo vsi skupaj?

65.* 27 1/2 1 vina treba v steklenice iztočiti; koliko steklenic se potrebuje, ako drži vsaka natančno po 5/6 l?

66. Vlak predirja, ker je cesta različno napeta, v prvih treh urah število km, v naslednjih število ure število km in potem v število ure število km; kolika je njega poprečna brzina v 1 uri?

Kakó je pretvarjati navadne ulomke na decimalne in obratno.

§ 104.

Da pretvoriš navaden ulomek na decimalen ulomek, razdeli števec z imenovalcem, v kvocijentu pa postavi za celotami (na njih mesto pride pri pravem ulomku ničla) decimalno točko. K ostanku ničlo pripisavši, deli zopet ter dobljeno kvocijentovo številko na desno od decimalne točke zapiši; prav takó pripiši potem k vsakemu naslednjemu ostanku po jedno ničlo ter deljenje nadaljuj, dokler ne dobiš delitve brez ostanka, ali, ako se to ne zgodi, dokler nimaš toliko decimalk, kolikor je zahtevanih.

Dokaz. Ako pripišeš k ostanku celot ničlo, pretvoriš ga na desetine, in ako le-té razdeliš, dobiš tudi v kvocijentu desetine. Ako pripišeš ničlo prav takó k ostanku desetin, pretvoriš ga na stotnine, in le-té razdelivši dobiš tudi v kvocijentu stotnine; i. t. d.

Dostavek. 1.) Da je môči navaden ulomek natančno na decimalen ulomek izpremeniti, treba, da je ta končen (endlich) decimalen ulomek, t. j. prej omenjena delitev se mora dati izvršili brez ostanka. A to je, ker vzamemo, da sta števec in imenovalec navadnega ulomka relativni praštevili, le tedaj mogoče, kadar nima imenovalec nikakega od 2 in 5 različnega faktorja.

V vseh slučajih, v katerih imenovalec faktorjev 2 in 5 celo nima, ali v katerih ima razven teh še druge različne faktorje, môči je navadni ulomek v njega najjednostavnejši obliki le približno na decimalen ulomek pretvoriti.

N. pr. enačba

2.) Kadar ulomka ni môči natanko na decimalen ulomek pretvoriti, ondaj moramo, njega približno vrednost računajoč, dobiti nekaj decimalk, katere se v istem redu ponavljajo. Kajti v vsaki delitvi je ostanek manjši od divizorja; zato je le toliko različnih ostankov mogočih, kolikor je celih števil, ki so manjša od divizorja. Delitev nadaljujoč, moramo dobiti tedaj slednjič ostanek, katerega smo že prej imeli; a potem se bodo tudi v kvocijentu v istem redu ponavljale številke, katere smo bili že prej dobili, in prav takó se bodo ponavljali tudi prejšnji ostanki. N. pr.

Decimalne ulomke, v katerih se nekoliko številk v istem redu ponavlja, imenujemo povratne ali perijodne (periodisch), vrsto ponavljajočih se številk pa povračaj ali perijodo (Periode).

Perijodne decimalne ulomke imamo dvoje: čisto perijodne (rein periodisch), t. j. take, pri katerih začenja perijoda s prvo decimalko, in nečisto ali mešano perijodne (unrein periodisch), t. j. take, ki imajo pred perijodo še druge decimalke.

Perijodo pišemo navadno le jedenkrat, toda nad prvo in zadnjo njeno številko postavimo točko; tedaj je

§ 105.

Pretvarjajoč decimalne ulomke na navadne ulomke razločuj té-le slučaje:

1.) Končen decimalen ulomek pretvoriš na navaden ulomek, ako ga v obliki navadnega ulomka napišeš ter tega, ako mogoče, okrajšaš.

N. pr. enačbi.

2.) Čisto perijoden decimalen ulomek pretvoriš na navadnega, ako vzameš za števec perijodo, za imenovalec pa toliko 9, kolikor ima perijoda številk.

Dokaz. Ako zaznamenuješ iskani navadni ulomek z x, ondaj je

enačba ...

To jednačbo s 100 pomnoživši, dobiš

100x = 46.46464646 ...

Ako prvo jednačbo od druge odšteješ, dobiš

99x = 46,

in odtod

enačba.

3.) Mešano perijoden decimalen ulomek pretvoriš na navadnega, ako odšteješ število, obstoječe iz decimalk pred perijodo, od števila, sestavljenega iz decimalk pred perijodo in v perijodi, ter to diferenco vzameš za števec ulomku, čegar imenovalec ima toliko 9, kolikor ima perijoda številk, s toliko ničlami na desni, kolikor je pred perijodo decimalk.

Dokaz. Ako zaznamenuješ iskani navadni ulomek z x, ondaj je enačba ...

Pomnoživši to jednačbo najprej s 1000 in potem s 10, dobiš

Ako tretjo jednačbo od druge odšteješ, dobiš

990x = 325 – 3, in odtod

enačba.

Četvero osnovnih računov z decimalnimi ulomki.

§ 106.

Za decimalne ulomke veljajo prav tisti zakoni kakor za cela števila, zatorej je z njimi tudi prav takó računati kakor s celimi števili, paziti je le na vrednost posamičnih številk, t. j. na decimalno točko.

Ako nam je decimalne ulomke seštevati ali odštevati, pišemo jih takó, da pridejo istoimenska mesta, tedaj tudi decimalne točke, natanko druga pod drugo; potem jih seštevamo ali odštevamo od desne proti levi, kakor cela števila. Na praznih mestih misliti si moremo ničle.

vsota enačba diferenca enačba

§ 107.

1.) Decimalen ulomek pomnožimo s potenco števila 10, ako pomaknemo decimalno točko za toliko mest proti desni, kolikor ima multiplikator ničel.

enačbe.

2.) Decimalen ulomek pomnožimo z decimalnim ulomkom, ako ga pomnožimo, ne oziraje se na decimalni točki, kakor celi števili ter potem v produktu od desne proti levi toliko decimalnih mest odrežemo, kolikor jih imata oba faktorja.

Prav tisto velja tudi, ako je jeden faktor celo število.

Kadar produkt nima toliko številk, kolikor jih je treba odrezati, postavijo se na prazna mesta na levi ničle.

§ 108.

Pri praktičnih računih zadostuje navadno, ako pridržimo od decimalnega ulomka, imajočega veliko decimalk, le nekaj decimalnih mest, in sicer toliko, kolikor jih zahteva natančnost računa. Pogrešek, ki na ta način nastane, skušamo kolikor mogoče zmanjšati in to takó, da povečamo, popravimo (corrigieren), zadnjo pridržano decimalko za 1, ako je prva izpuščena številka 5 ali večja od 5; kadar je pa prva izpuščena številka manjša od 5, tedaj ostane zadnja pridržana decimalka neizpremenjena. Takó vzamemo mesto decimalnega ulomka 0.728374, ako zadostujejo 4 decimalke, 0.7284, in če zadostujejo 3 decimalke, 0.728. Tak decimalen ulomek imenujemo okrajšan. Okrajšan decimalen ulomek izražuje le približno vrednost popolnega decimalnega ulomka, toda pogrešek ni nikdar večji nego pol jednote zadnjega pridržanega decimalnega mesta.

Kadar nočemo dobiti v produktu dveh decimalnih ulomkov nižjih mest, nego jih zahteva natančnost računa, poslužujemo se okrajšanega množenja, množeč z vsako multiplikatorjevo številko le one multiplikandove številke, katerih produkti uplivajo na zahtevana mesta. Kakor lahko razvidno, je v ta namen takó-le ravnati:

1.) Jednice multiplikatorjeve zapiši pod ono multiplikandovo mesto, katero se v produktu kot najnižje zahteva; vse druge številke pa napiši zraven teh jednic v obratnem redu takó, da se prikaže ves multiplikator obrnen.

2.) S prvo na desni stoječo številko obrnenega multiplikatorja pomnoži najprej ono multiplikandovo številko, katera stoji za jedno mesto dalje proti desni, pa tega produkta ne zapiši, zapomni si le njega najbližje desetice, katere dadé popravo ali korekturo; potem pomnoži ravno nad njo stoječo številko multiplikandovo, k produktu prištej popravo in tu začni produkt napisavati; na to

pomnoži zaporedoma tudi vse naslednje multiplikandove številke. Prav takó množi z drugo, tretjo, ... multiplikatorjevo številko, dobljene okrajšane delske produkte pa piši takó druzega pod druzega, da pridejo njih najnižja mesta natanko drugo pod drugo.

3.) Te delske produkte seštej in v vsoti odreži toliko decimalk, kolikor je zahtevanih.

N. pr. Recimo, da nam je na okrajšani način izračunati:

a) na 3 decimalke.

b) na 5 decimalk.

Ako hočeš, da je zadnja decimalka zanesljiva, izračunaj jedno več, nego je prav za prav zahtevanih.

Prav takó kakor decimalne ulomke množiti je na okrajšani način tudi cela števila, ako se zahteva le nekaj najvišjih mest.

Ako nam je n. pr. produkt 310786.45067 izračunati na desettisočice, dobimo

desettisočic = 14006180000.

§ 109.

1.) Decimalen ulomek razdelimo s potenco števila 10, ako pomaknemo decimalno točko za toliko mest dalje proti levi, kolikor ima divizor ničel.

enačbe.

2.) Ako je razdeliti decimalen ulomek z decimalnim ulomkom, ondaj pripiši k dividendu in divizorji na desni toliko ničel, da bosta imela oba isto toliko decimalk, potem izpusti decimalni točki ter delitev izvrši kakor pri celih številih.

enačbe ...

Prav takó ravnaj tudi, ako je dividend ali divizor celo število.

Bolj praktično pa je uporabljati tá-le pravila, katera so sama ob sebi jasna:

a) Decimalen ulomek razdelilno s celim številom, ako ga razdelimo kakor celo število ter v kvocijentu decimalno točko postavimo, predno vzamemo prvo dividendovo decimalko v račun. N. pr.

b) Število razdelimo z decimalnim ulomkom, ako pretvorimo, pomnoživši dividend in divizor s primerno potenco števila 10, divizor na celo število ter potem delimo kakor pri a).

N. pr. enačbe.

Dostavek. Iz prejšnjega je jasno, da je zavisna številčna vrsta v kvocijentu le od številčne vrste v dividendu in divizorji; zaporedne kvocijentove številke dobimo tedaj, izvršivši delitev, ne oziraje se na decimalni točki v dividendu in divizorji, kakor pri celih številih. Da določimo kvocijentovim številkam mestno vrednost, treba si le divizor pod prvi delski dividend zapisan misliti; prva številka v kvocijentu ima prav tisto mestno vrednost, katero ima nad jednicami divizorjevimi stoječa številka v dividendu; ako je pa določena mestna vrednost prve kvocijentove številke, določena je tudi mestna vrednost vseh druzih. N. pr.

a) enačba, b) enačba.

Pri a) stojé divizorjeve jednice (4) pod dividendovo številko 1, katera pomenja stotice; vsled tega pomenja stotice tudi prva kvocijentova številka 2.

Pri b) stojé divizorjeve jednice (3) pod dividendovo številko 8 in ta ima vrednost stotnin; tedaj ima vrednost stotnin tudi prva kvocijentova številka 4.

§ 110.

Da določimo v kvocijentu dveh števil le toliko številk, kolikor jih je zanesljivih, in se ob jednem izognemo vsemu nepotrebnemu računanju, v to služi nam okrajšano deljenje. Bistvo okrajšane delitve je tó-le:

1.) Najprej poišči prvo kvocijentovo številko in tej določi mestno vrednost (uporabljajoč dostavek k § 109.) Iz mestne vrednosti prve kvocijentove številke in iz števila zahtevanih decimalk določiš lahko, koliko številk je treba sploh v kvocijentu izračunati.

2.) Za okrajšani divizor vzemi toliko najvišjih divizorjevih številk, kolikor se jih v kvocijentu zahteva, za okrajšani dividend tudi prav toliko, ali pa jedno več, ako bi imel pri navadnem deljenji prvi delski dividend jedno številko več nego divizor.

3.) S prvo kvocijentovo številko pomnoži najprej najvišjo izpuščeno divizorjevo številko; iz tega produkta dobljeno popravo prištej k produktu iz okrajšanega divizorja in prve kvocijentove številke in ta produkt odštej od okrajšanega dividenda.

4.) K ostanku ne pripiši nobedne nove številke, za to pa odreži v divizorji najnižjo; potem deli kakor poprej in takó ravnaj, dokler ni v divizorji nobedne številke več.

5.) Ako dani dividend nima toliko številk, kolikor jih mora imeti okrajšani dividend, ondaj mu pripiši toliko ničel, kolikor ima številk premalo. Ako ima pa divizor premalo številk, začni na okrajšani način še le tedaj deliti, ko si vzel že vse številke okrajšanega dividenda v račun. N. pr.

Okrajšana delitev se more uporabljati tudi pri celih številih, ako se zahteva le nekaj najvišjih mest.

Ako hočemo določiti n. pr. kvocijent 35874137 : 8435 le do stotic, dobimo

enačba stotic

Naloge.

Pretvori té-le navadne ulomke na decimalne:

Pretvori té-le decimalne ulomke na navadne:

20. Izračunaj enačbe.

21. Recimo, da preleti prosto padajoče telo v prvi sekundi svojega pada 4.904 m in v vsaki naslednji sekundi za 9.808 m več kakor v prejšnji; koliko m preleti a) v drugi, tretji, četrti sekundi? b) v prvih štirih sekundah?

23. Pomnoži števila.

30. Razdalja med mesecem in zemljo je 58.525krat tolika kakor polumer zemljinega ekvatorja; kolika je ta razdalja, ako vzamemo, da ima ekvatorjev polumer 6377.5 km?

Izračunaj, na okrajšani način množeč:

38. Izračunaj na 4 decimalke

39. Razdeli števila.

51. Zemlja preleti, vrteč se okoli solnca, v 1 uri 14787.68 zemljep. milje; koliko a) v 1 minuti, b) v 1 sekundi?

Izračunaj, na okrajšani način deleč:

60. 1 kg = 1.785523 dun. funta; koliko kg ima 1 dun. funt? (5 dec.)

Naloge.

Naloge.

Z zvezdico zaznamenovane naloge razreši na pamet in algebrajsko.

1.* 5kratnik nekega števila, za 23 povečan, je jednak 88. Katero število je to?

2.* H kateremu številu treba 54 prišteti, da dobiš njega 4kratnik?

3.* Katerega števila 3kratnik je za 42 manjši od njegovega 5kratnika?

4.* Ako pomnožim neko število s 3, dobim prav toliko, kakor če je za 3 povečam, katero je to število?

5. Ako prišteješ k mkratniku nekega števila a, dobiš prav toliko, kakor če od njegovega nkratnika b odšteješ. Katero število je to?

6. Katerega števila četrtino treba za 12 zmanjšati, da dobiš njega 12ino?

7.* Katerega števila 5ina, 8krat vzeta, je za 6 večja nego število samo?

8.* Polovica in petina nekega števila sta skupaj za 86 manjši nego njega 5kratnik. Koliko je število?

9.* Katerega števila osmina, zmanjšana za njega desetino, je jednaka njegovi za 5 zmanjšani petnajstini?

10.* H kateremu številu treba prišteti njega polovico, tretjino in četrtino, da dobiš 100?

11. Ako prištejem k nekemu številu a ter vsoto z m razdelim, dobim prav toliko, kakor če od števila b odštejem ter diferenco z n razdelim. Katero število je to?

12. S katerim številom treba 230 razdeliti, da dobiš 13 za kvocijent in 9 za ostanek?

13. Mislim si število. Ako je pomnožim s 5, od produkta odštejem 6, diferenco razdelim s 3 in h kvocijentu prištejem 10, dobim dvakrat toliko število. Katero število sem si mislil?

14. Ako tretjino nekega števila za 1 povečaš in dvojno vsoto za 6 zmanjšaš, dobiš 0. Katero je to število?

15. Katero število treba od vsacega izmed števil 19 in 11 odšteti, da bode prva diferenca dvakrat tolika kakor druga?

16. Katero število treba k števcu in imenovalcu ulomka 13/18 prišteti, da dobiš ulomek 4/5?

17. Katero število treba od števca in imenovalca ulomka 12/37 odšteti, da dobiš ulomek 4/9?

18. Katero število treba k števcu ulomka a/b prišteti in od njega imenovalca odšteti, da dobiš recipročno vrednost danega ulomka?

19. Ako odšteješ od števca in imenovalca ulomka 15/16 neko število, potem je produkt iz danega in novega ulomka jednak 5/6. Poišči to število.

20. Ako prišteješ k nekemu številu njega polovico in 6, k tej vsoti zopet nje polovico in 6, dobiš 69. Izračunaj to število.

21.* Ko se je zmanjšalo neko število za njega polovico in še za 15, ostanek zopet za njega tretjino in 10, ostalo je še 30. Koliko je bilo število?

Na pamet. Ker se je odštela na zadnje tretjina ostanka in 10, ostali sta še dve njegovi tretjini menj 10; tedaj je 30 + 10 ali 40 jednako 2/3 prvega ostanka; ako sta 2/3 ostanka = 40, ondaj je 1/3 njegova = 20 in ves prvi ostanek = 3krat 20 = 60. Ker je pa ta za 15 manjši nego polovica neznanega števila, mora 60 + 15 ali 75 biti polovica tega števila, tedaj število samo 2krat 75 = 150.

22.* A ima 315 gl., B 205 gl., koliko mora A B-ju dati, da bosta oba jednako imela?

23. Ako bi imel 20 gl. več, kakor imam, imel bi ravno 5 gl. menj nego dvakrat toliko, kolikor imam. Koliko imam tedaj denarja?

24. Od 320 kg blaga se ga je nekaj odprodalo, a ostalo ga je vender še 50 kg več, nego se ga je prodalo. Koliko kg se je prodalo?

25.* Deček ima 60 orehov. Nekaj jih dá svojemu prijatelju, a njemu jih ostane še vender 4krat toliko, kolikor jih je prijatelju dal. Koliko orehov je dal prijatelju?

26.* A izda polovico svojih letnih dohodkov za hrano in stanovanje, osmino za obleko in perilo, petino jih potroši za druge stvari, prihrani pa si 260 gl. Koliko ima dohodkov na leto?

27. Neki popotnik, vprašan, koliko km je prehodil, odgovori: Ako bi bil 48 km več prehodil, prišel bi bil 3krat takó daleč kakor sem. Koliko km je popotnik prehodil?

28.* A si je hotel za določeno vsoto denarja vina kupiti, steklenico po 90 kr.; ker je pa steklenica le 70 kr. veljala, dobil ga je za isti denar 8 steklenic več. Koliko steklenic ga je dobil?

29.* Učitelj odgovori na vprašanje, koliko ima učencev: Polovica mojih učencev je za 16 večja nego šestina in devetina skupaj. Koliko je imel učencev?

30. Oče ima 32, njegov sin 2 leti; čez koliko let bode imel oče ravno 3krat toliko let kakor sin?

31. Oče, kateri je imel pred 8 leti 5krat toliko let kakor njegova hči, ima sedaj 45 let; koliko let ima hči?

32. Oče ima 60, njegov sin pa 24 let; pred koliko leti je imel oče 4krat toliko let kakor sin?

33. Nekdo, vprašan, koliko ima let, odgovori: Čez 12 let jih bodem imel 4krat toliko, kakor sem jih imel pred 12 leti. Koliko ima let?

34.* Nekdo hoče denar, kar ga ima ravno pri sebi, med 10 ubožcev razdeliti. Ako dá vsacemu 20 kr., ima prav toliko premalo, kolikor ima preveč, ako dá vsacemu 18 kr. Koliko krajcarjev ima pri sebi?

35. Ko se je tiskala neka knjiga, postavilo se je na vsako stran po 36 vrst in v vsako vrsto po 40 črk; ako bi se bilo pa postavilo na vsako stran po 4 vrste več in v vsako vrsto po 5 črk več, imela bi bila knjiga 2 poli menj. Koliko pol je imela knjiga?

36. [Železniški] vlak je potreboval 4 1/2 ure, da je predirjal neko daljavo; potreboval pa bi bil le 3 1/2 ure, ako bi bil pretekel vsako uro po 9 4/5 km več. Koliko km je predirjal vsako uro in kolika je bila daljava?

37.* Ako vzamemo od neke vsote polovico, od ostanka zopet polovico in od novega ostanka tudi polovico, ostane še 37 gl. Kolika je bila prvotna vsota?

38. Igralec izgubi v prvi igri 6 gl. menj nego l/4 svojega denarja, v drugi igri 2 gl. več nego 1/6 ostanka, v tretji igri. 8 gl. več nego 1/7 onega, kar mu je po drugi igri ostalo, in sedaj ima še 28 gl.; koliko je imel s početka?

39. Za neko blago se je iztržilo 2744 gl., a dobiček je iznašal 3/25 kupnine kolika je bila le-tá?

40.* Trgovec je kupil kos sukna, meter po 3 3/4 gl., a potem ga zopet prodal, meter po 4 1/2 gl. Koliko metrov je imel kos, ako je bilo vsega dobička 27 gl.?

41. Žitar ima nekoliko hektolitrov pšenice. Ako proda hektoliter po 10 gl. ima 192 gl. dobička; ako ga proda par 9 gl., izgubi 48 gl. Koliko hl ima pšenice?

42. V vodnjak priteka voda iz treh cevij; prva sama ga napolni v 4 urah, druga sama v 6 urah, tretja sama v 12 urah. V koliko urah bode vodnjak poln, ako priteka voda ob jednem iz vseh treh cevij?

43. Dvema delavcema treba 435 metrov dolg prekop blata očistiti, prvi očisti na dan 42 metrov, drugi. 45 metrov; kedaj bode delo dovršeno?

44. Za neko delo se ponujata dve osebi; A bi dovršil delo v 18, B v 15 dneh. V koliko dneh bi A in B skupaj delo dovršila?

45. Od krajišč A in B 300 metrov dolge daljice se začneta dve telesi istodobno drugo proti druzemu pomikati; prvo preteče vsako minuto 7, drugo 5 metrov. Koliko minut po početku premikanja se bosta srečali?

Vsota poti, kateri pretečeta telesi do sestanka, je jednaka razdalji toček A in B.

46. Kateri rezultat dobiš v prejšnji nalogi, ako postaviš mesto števil 300, 7, 5 števila d, a, b?

47. Iz A gre v 356 km oddaljeno mesto B kurir, kateri prehodi po 56 km na dan; istodobno odpotuje iz B v A drug kurir, kateri prehodi po 52 km na dan. Kedaj in v kateri razdalji od A se bosta kurirja srečala?

48. Od A do B je železnica. Od A se odpelje proti B poštni vlak, kateri preteče vsako uro po 30 km; istodobno se odpelje od B proti A tovorni vlak, kateri bi imel poštni vlak čez 4 1/2 ure srečati. Koliko km mora tovorni vlak vsako uro preteči, ako iznaša razdalja med A in B 225 km?

49.* Za kurirjem, kateri je pred 3 dnevi iz mesta A odpotoval, pošlje se od ravno tam drug kurir, kateri prehodi vsak dan

po 60 km. Kedaj bode drugi prvega dohitel, ako prehodi ta vsak dan po 40 km?

50. Ob 7ih zjutraj se odpelje z Dunaja po zahodni železnici poštni vlak, ob 9ih zjutraj pa brzovlak. Kedaj in v kateri razdalji od Dunaja bode dohitel brzovlak poštni vlak, ako preteče prvi vsako uro po 42, drugi po 26 km?

51.* Iz A v B gre kurir, ki prehodi po 12 milj na dan; jeden dan pozneje pošlje se iz A drug kurir za njim, po koliko milj mora le-tá na dan prehoditi, da bode dohitel prvega v 4 dneh?

52. Za kurirjem, kateri je pred 6 dnevi iz A odpotoval, in kateri prehodi po 48 km na dan, pošlje se iz B, skozi katero mesto je šel, drug kurir, kateri prehodi po 75 km na dan. V koliko dneh bode drugi prvega dohitel, ako iznaša razdalja med A in B 100 km?

53. Od B se pelje proti C poštni vlak, kateri preteče vsako uro po 24 km; istodobno se odpelje brzovlak v isto mer iz mesta A, katero je za 36 km zadaj za B, ter dohiti poštni vlak v 3 urah. Po koliko km preteče brzovlak v 1 uri?

54. Dve telesi se pomikata v isto mer, prvo od A, drugo od B, katero mesto je za 2 m zadaj za A, in sicer se začne drugo 6 sekund pozneje pomikati kakor prvo. Čez koliko sekund od tedaj, ko se je začelo drugo pomikati, bode le-tó prvo dohitelo, ako preteče prvo vsako sekundo 1/4, drugo 4/9 m?

55. Kateri rezultat dobiš, ako postaviš v prejšnji nalogi mesto števil 2, 6, 1/4, 4/9 števila d, t, a, b?

56. Dve telesi se začneta istodobno na obodu kroga od iste točke v isto mer pomikati; prvo preteče ves obod v 24, drugo v 18 minutah. V koliko minutah bosta zopet skupaj?

57. Koliko časa mine od jednega sestanka kazalcev na uri do druzega?

58. Koliko minut čez 4 bode minutni kazalec ravno nad onim, ki ure kaže?

Naloge.

Izrazi tá-le razmerja s celimi števili:

Izrazi naslednja razmerja z najmanjšimi celimi števili:

8.* Izmed dveh teles preteče A v vsaki minuti 80 m, B 96 m; v kakem razmerji sta njiju brzini?

9.* Telo A preteče v 8 minutah isto pot kakor B v 6 minutah; v katerem razmerji sta njiju brzini?

10.* Izmed dveh koles, katerih zobci sezajo drug v druzega, ima prvo 28, drugo 36 zobcev; kakšno je razmerje med brzinama, s katerima se vrtita te dve kolesi?

11.* Razstoj med lediščem in vreliščem je razdeljen na Réaumurjevih toplomerih na 80 °, na Celsijevih na 100 °; kako je torej razmerje med 1 ° R. in 1 ° C.?

12. Kakšno razmerje je v Avstriji med vrednostjo zlata in srebra, ker se kuje iz 1 kg čistega zlata 172 2/9 zlatníka po osem goldinarjev, iz 1 kg čistega srebra pa 90 goldinarjev, in velja zlatník po osem goldinarjev 8 1/10 gl. v srebru?

13. Izmed dveh pravokotnikov je prvi 28 m dolg in 15 m širok, drugi 25 m dolg in 16 m širok; v kakem razmerji sta njiju ploščini?

14. Izmed dveh parnih strojev vzdigne prvi v a sekundah b kg c m visoko, drugi pa v d sekundah e kg f m visoko; v katerem razmerji sta njiju sposobnosti za delo?

Izreki o številnih sorazmerjih.

§ 119.

1.) V vsakem številnem sorazmerji je produkt vnanjih členov jednak produktu notranjih členov.

Dokaz. Vzemimo, da je a.b = c : d, in a : b = k, tedaj tudi c : d = k. Odtod pa dobimo a = bk, c = dk. Pomnoživši prvo teh jednačeb z d in drugo z b, dobimo ad = bdk, bc = bdk, in odtod ad = bc.

Iz tega izreka izvira:

V vsakem stalnem številnem sorazmerji je kvadrat srednje sorazmernice jednak produktu iz druzih dveh členov.

Ako je a : b = b : c, ondaj je b2 = ac.

N. pr. Iz 16 : 8 = 8 : 4 dobimo 82 = 16.4.

2.) Vsak vnanji člen številnega sorazmerja je jednak produktu notranjih dveh členov, razdeljenemu z drugim vnanjim členom; in vsak notranji člen je jednak produktu vnanjih dveh členov, razdeljenemu z druzim notranjim členom.

Ako je a : b = c : d, tedaj ad = bc, ondaj je

3.) Iz dveh jednakih produktov je môči vselej sorazmerje sestaviti; v ta namen treba le vsak produkt na dva faktorja razstaviti ter faktorja jednega produkta za vnanja, faktorja druzega produkta za notranja člena sorazmerju vzeti. (Obrat od 1.)

Recimo, da je ad = bc. Razdelivši to jednačbo z b d, dobimo

ad: bd = bc : bd, ali

a : b = c : d.

Pravo številno sorazmerje je torej spoznati ne le iz tega, da sta eksponenta v obeh razmerjih jednaka, nego tudi iz jednakosti produktov vnanjih in notranjih členov.

§ 120.

Sorazmerje razrešiti se pravi, iz treh danih členov sorazmerja njega še neznani člen najti.

a) Sorazmerje razrešiš, ako poiščeš eksponent znanega razmerja ter potem z njega pomočjo neznani člen druzega razmerja določiš.

b) Številno sorazmerje je najlažje razrešiti s pomočjo § 119., 2.

N. pr. iz x : 2 = 15 : 3 dobiš

a) 15 : 3 = 5, x = 2.5 = 10; ali

b) enačba; tedaj

10 : 2 = 15 : 3 popolno sorazmerje.

Kakó je izpremeniti sorazmerju obliko.

§ 121.

Vsako številno sorazmerje ostane pravo, ako zamenjamo a) vnanja člena med seboj, ali b) notranja člena med seboj, ali c) notranja člena z vnanjima.

Dokaz. Vzemimo, da velja a : b = c : d, tedaj ad = bc.

a) Ako zamenjamo v tem sorazmerji notranja člena, dobimo

a : c = b : d.

b) Zamenjavši v teh dveh sorazmerjih vnanja člena, dobimo

d : b = c : a,
d : c = b : a.

c) Ako zamenjamo slednjič v vseh teh štirih sorazmerjih notranja člena z vnanjima, dobimo

b : a = d: c,
c: a = d : b,
b : = a : c,
c : d = a : b.

Da je vsak izmed zadnjih sedem postavkov pravo sorazmerje, razvidno je iz tega, ker je v vsakem izmed njih ad produkt vnanjih členov in bc produkt notranjih členov ali obratno, produkta ad in bc pa sta po pogoji jednaka.

Vsako sorazmerje je môči torej na osmer način izraziti; v ta namen treba le njega člene drugače razvrstiti.

§ 122.

Sorazmerje ostane pravo, ako jeden vnanji in jeden notranji člen z istim številom pomnožimo ali razdelimo.

Dokaz. Ako velja a : b = c : d, tedaj ad = bc, velja tudi

Kajti iz ad = bc izvira ne le adm = bcm, nego tudi enačba. Toda v vseh sorazmerjih 1.) je adm produkt vnanjih, bcm produkt notranjih

členov; prav takó je v sorazmerjih 2.) produkt vnanjih členov ulomek, produkt notranjih členov pa ulomek; vsa ta sorazmerja so torej prava.

Uporabljajoč ta izrek moremo a) vsako sorazmerje, v katerem so ulomki, izraziti s celimi števili; b) vsako sorazmerje, v katerem imata jeden vnanji in jeden notranji člen skupno mero, z le-tó skupno mero okrajšati.

§ 123.

1.) V vsakem sorazmerji se ima vsota (diferenca) prvih dveh členov proti prvemu ali drugemu členu, kakor se ima vsota (diferenca) zadnjih dveh členov proti tretjemu ali četrtemu členu.

Dokaz. Ako velja a : b = c : d, tedaj ad = bc, velja tudi

Te dve sorazmerji sta pravi, ako je v vsakem produkt vnanjih členov jednak produktu notranjih členov, t. j. ako je enačba, tedaj ako je

enačba.

To pa je tu, kajti po pogoji je ad = bc.

2.) V vsakem sorazmerji se imata vsota in diferenca prvih dveh členov, kakor se im ta vsota in diferenca zadnjih dveh členov.

Dokaz. Ako velja a : b = c : d, ondaj velja vsled 1.)

ali, ako notranja člena zamenjamo,

tedaj tudi

in če zamenjamo tu notranja člena

3.) V vsakem sorazmerji se ima vsota (diferenca) prednjih členov proti vsoti (diferenci) zadnjih členov, kakor se ima vsak prednji proti svojemu zadnjemu členu.

Dokaz. Vzemimo, da velja a : b = c : d. Zamenjavši notranja

člena, dobimo

a : c = b : d.

A potem velja vsled 1.)

in, ako v vsakem izmed teh dveh sorazmerij notranja člena zamenjamo,

Dostavek. Ako je več številnih sorazmerij med seboj jednakih, ima se vsota vseh prednjih členov proti vsoti vseh zadnjih členov, kakor vsak prednji člen proti svojemu zadnjemu členu.

Ako velja a : b = e : d = f : g, velja tudi

enačba.

§ 124.

Ako pomnožimo v dveh ali več številnih sorazmerjih vse istomestne člene druzega z druzim, tvorijo produkti zopet sorazmerje.

Recimo, da velja a : b = c : d, tedaj ad = bc,
dalje e : f = g : h, tedaj eh = fg,
slednjič k : l = m: n, tedaj kn = lm.

Ako pomnožimo, dobimo enačba.

Ako damo temu izrazu obliko enačba, dobimo odtod sorazmerje

enačba.

To sorazmerje imenujemo sestavljeno nasproti danim sorazmerjem, katera zovemo jednostavna. Dostavek. Ako imamo

pišemo krajše

Tako sorazmerje imenujemo zaporedno ali verižno sorazmerje (fortlaufende Proportion, Kettenproportion).

Naloge.

Razreši tá-le sorazmerja:

31. Izpremeni obliko téma-le dvema sorazmerjema, uporabljajoč § 121. in § 123.:

a) 9 : 6 = 15 : 10, b) 36 : 12 = 24 : 8.

32. Izračunaj enačbe

Kakó je uporabljati jednostavna razmerja v razreševanje nalog.

§ 126.

Razrešitev onih nalog, katerih količine so v jednostavnih razmerjih, – takó zvana jednostavna regeldetrija (einfache Regeldetri) –, opira se na izreka prejšnjega paragrafa. N. pr.

1.) 7 m sukna velja 30 gl., koliko velja 42 m prav tacega sukna? Ker sta te dve vrsti števil premo sorazmerni, dobimo

enačbe.

2.) 16 delavcev izvrši neko delo v 6 dneh; koliko delavcev treba najeti, da izvršé isto delo v 4 dneh? Dani dve vrsti števil sta obratno sorazmerni, tedaj velja

Vsaka regeldetrijska naloga ima dva stavka: prvi izreka pogoj, drugi izražuje vprašanje.

Da imajo regeldetrijske naloge sploh pomen in veljavo za praktično življenje, treba, da si mislimo pri vsaki taki nalogi za obe dve vrsti števil, kateri med seboj primerjamo, vse v pogojnem in vprašalnem stavku ne imenovane okolščine kot jednake; ali, kar je prav tisto, treba vsakako, bodi si molčé bodi si izrekoma, staviti pogoj, da spada k vsaki jednoti jedne vrste v pogojnem in vprašalnem stavku ista množina jednot druge vrste. Na ta pogoj je paziti pri vseh naslednjih nalogah, da si tudi se ne naglaša zaradi kratkosti povsod izrekoma.

§ 127.

Jednostavnejše regeldetrijske naloge je môči dostikrat kar na pamet razrešiti. V obče sklepamo tu iz dane vrednosti za kako množino na vrednost jednote in potem iz te vrednosti na vrednost kake druge množine. N. pr.

1.) 8 m sukna velja 32 gl., koliko velja 5 m? – Ako velja 8 m 32 gl. velja 1 m 8mi del od 32 gl., torej 4 gl.; 5 m velja zatorej 5krat 4 gl., t. j. 20 gl.

2.) 6 delavcev izvrši neko delo v 20 dnéh, koliko dnij bode potrebovalo za isto delo 5 delavcev? – Ako izvrši delo 6 delavcev v 20 dnéh, potreboval bode 1 delavec 6krat 20 dnij, tedaj 120 dnij; 5 delavcev pa bode potrebovalo za delo le 5ega dela onega časa, katerega potrebuje 1 delavec, zatorej 5ega dela od 120 dnij, t. j. 24 dnij.

Krajša je razrešitev na pamet, kadar je množina v vprašalnem stavku mnogokratnik ali del ali mnogokratnik kakega dela istoimenske množine v pogojnem stavku. N. pr.

1.) 5 hl ječmena velja 21 gl. 15 kr.; koliko stane 30 hl? – 30 hl je 6krat 5 hl, tedaj velja 6krat 21 gl. 15 kr., t. j. 126 gl. 90 kr.

2.) 100 gl. kapitala daje na leto 5 gl. obrestij; koliko obrestij daje na leto 25 gl. kapitala? – Ker je 25 gl. četrti del od 100 gl., dá tudi le četrti del od 5 gl., tedaj 1 gl. 25 kr. obrestij.

3.) 48 m velja 60 gl. 72 kr.; koliko velja 36 m? – 36 m je 3krat 12 m; 12 m je četrti del od 48 m, 12 m velja tedaj četrti del od 60 gl. 72 kr., t. j. 15 gl. 18 kr.; 36 m pa velja 3krat 15 gl. 18 kr., zatorej 45 gl. 54 kr.

V posamičnih slučajih je môči razrešiti regeldetrijske naloge tudi na ta način, da se množina vprašalnega stavka primerno razstavi. N. pr.

1.) Koliko velja 30 kg, ako se plača za 14 kg 43 gl. 82 kr.? – 30 kg je 2krat 14 kg in še 2 kg; 2krat 14 kg velja 2krat 43 gl. 82 kr., t. j. 87 gl. 64 kr., 2 kg sta 7mi del od 14 kg, tedaj veljata tudi 7mi del od 43 gl. 82 kr., t. j. 6 gl. 26 kr.; 87 gl. 64 kr. in 6 gl. 26 kr. je 93 gl. 90 kr.

2.) Ako velja 5 hl vina 92 gl., koliko velja 19 hl? – 20 hl veljalo bi 4krat 92 gl., t. j. 368 gl. Da najdemo ceno za 19 hl, treba še od 368 gl. odšteti ceno 1 hl; 1 hl velja 5i del od 92 gl., t. j. 18 gl. 40 kr.; ako odštejemo od 368 gl. najprej 18 gl., ostane 350 gl., in od tega še 40 kr., ostane 349 gl. 60 kr.

Kakó je uporabljati sestavljena razmerja v razreševanje nalog.

§ 128.

Kakó je razreševati naloge, katerih količine so v sestavljenih razmerjih, – takó zvano sestavljeno regeldetrijo – pokazati hočemo na téj-le nalogi:

3 zidarji sezidajo v 14 dneh 50 m3. zidú; v koliko dneh bode sezidalo 7 zidarjev 125 m3 zidú?

To nalogo je môči razstaviti na té-le dve nalogi z jednostavnimi razmerji:

1.) 3 zidarji sezidajo neki zid v 14 dneh; v koliko (y) dneh bode sezidalo 7 zidarjev isti zid, ako ostanejo vse druge okolščine prav tiste?

Ker je število zidarjev v obratnem razmerji s številom delovnikov, katerih je za določeno delo treba, odgovarja na ono vprašanje sorazmerje

y : 14 = 3 : 7,

iz katerega dobimo y = 6.

2.) Ako sezida 7 zidarjev v y (= 6) dneh 50 m3 zidú, v koliko (x) dneh bode sezidalo prav toliko zidarjev 125 m3 zidu? Ker je kolikost dela v premem razmerji s številom dnij, ki se za delo potrebujejo, dobimo odgovor na ono vprašanje, razrešivši sorazmerje

x : y = 125 : 50;

odtod pa dobimo neznanko prvotne naloge x = 15.

Neznanke y pa ni treba s pomočjo posebnega sorazmerja res izračunati; kajti neznanko x je môči kar neposredno določiti. V ta namen treba le prejšnji dve sorazmerji sestaviti. Ako pomnožimo namreč istomestne člene sorazmerij

y : 14 = 3 : 7 in
x : y = 125 : 50, dobimo

y.x : 14.y = 3.125 : 7.50

in, ako okrajšamo prvo razmerje z y,

x : 14 = 3.125 : 7.50,

katero sorazmerje je môči zaradi lažjega pregleda tudi takó-le napisati:

x : 14 = 3 : 7
125 : 50.

Tu je le pomniti, da treba drugo pod druzim stoječa števila pomnožiti.

Razmerje x : 14 je torej jednako sestavljenemu razmerju, in sicer je le-tó sestavljeno iz jednostavnih razmerij 3 : 7 in 125 : 50.

Ako primerjamo, kakó so razvrščena števila v teh razmerjih in kakó v nalogi, namreč

ter pomnimo, da je število dnij s številom delavcev obratno, s številom m3 pa premo sorazmerno, vidimo takój, da sta k x dnem in 14 dnem spadajoči števili zidarjev v obratnem, dotični števili m3 pa v istem redu v razmerje postavljeni.

Odtod izvajamo izrek:

Ako je katera koli vrsta števil od več druzih vrst takó zavisna, da je z vsako posamič ali premo ali obratno sorazmerna, potem je razmerje med vsakima dvema številoma one prve vrste jednako sestavljenemu razmerju, in sicer sestavljenemu iz razmerij med vsakima dvema pripadajočima številoma druzih vrst, vzetima v istem ali v obratnem redu, kakor so števila dotične vrste s števili prve vrste premo ali obratno sorazmerna.

Uporabljajoč ta izrek, razrešuj tedaj naloge sestavljene regeldetrije kratko takó-le :

1.) V prvo razmerje postavi neznanko in ono število, katero ima isto ime kakor neznanka.

2.) Drugo razmerje proporcije je sestavljeno; da dobiš njega posamična razmerja, primerjaj vrsto neznanke posamič z vsako drugo vrsto in to zato, da zveš, je-li sta te dve vrsti premo ali obratno sorazmerni; potem postavi v razmerje števili vsake vrste, spadajoči k neznanki in k številu, ki ima isto ime kakor neznanka, in to v istem ali v obratnem redu, kakor je dotična vrsta z vrsto neznanke premo ali obratno sorazmerna.

3.) Dobljeno sorazmerje razreši. V ta namen razdeli produkt vseh notranjih členov s produktom vseh znanih vnanjih členov.

Primer. Ako dovrši 20 delavcev, delajočih po 12 ur na dan, v 5 tednih 375 m dolg nasip; v koliko tednih bode dovršilo 12 delavcev, kateri delajo po 10 ur na dan, prav tak 600 m dolg nasip?

§ 129.

Lažje naloge je môči tudi tu s pomočjo sklepov kar na pamet razrešiti. N. pr.

4 delavci, kateri delajo po 12 ur na dan, dovršé neko delo v 7 1/2 dneva; koliko dnij potrebuje za isto delo 6 delavcev, ako delajo le po 10 ur na dan?

Ako potrebujejo 4 delavci 7 1/2 dneva, potrebuje 1 delavec 4krat toliko časa, tedaj 4krat 7 1/2 dneva, t. j. 30 dnij; 6 delavcev pa potrebuje le 6ega dela od 30 dnij, t. j. 5 dnij, ako delajo po 12 ur na dan; ako bi pa delali le po 1 uro na dan, potrebovali bi 12krat 5 dnij, t. j. 60 dnij; ker pa delajo po 10 ur na dan, potrebovali bodo le 10ega dela od 60 dnij, tedaj 6 dnij.

2.) Prav takó sklepamo tudi pismeno računajoč.

Pri nalogi, katero smo razrešili v § 128., dobili bi, uporabljajoč pismeni sklepovni račun:

3 zid. potrebujejo za števila
1 zid. potrebuje za števila

Naloge.

1.* 6 m sukna velja 18 gl.; koliko velja 12 m sukna?

Na pamet. Ako velja 6 m sukna 18 gl., velja 1 m 6i del od 18 gl., tedaj 3 gl., 12 m bode veljalo torej 12krat 3 gl., t. j. 36 gl. – Ali krajše: 12 m je 2krat 6 m, 12 m bode veljalo tedaj 2krat toliko kakor 6 m, torej 2krat 18 gl. = 36 gl.

2.* 1 hl velja 20 gl.; koliko bode veljalo 40 l?

3.* 200 kg kave velja 320 gl.; koliko kave bodeš dobil za 64 gl.?

4.* Pri 100 gl. je 16 gl. dobička; koliko dobička je pri 425 gl.?

5.* Hiša daje na leto 540 gl. obrestij; koliko v 8 mesecih?

6.* 16 zidarjev sezida zid v 20 dneh; v koliko dneh bi sezidalo prav tisti zid 10 zidarjev?

Na pamet. Ako potrebuje 16 zidarjev 20 dnij, potreboval bi 1 zidar 16krat toliko dnij, tedaj 320 dnij, 10 zidarjev pa potrebuje le 10ega dela onega časa, katerega potrebuje 1 zidar, torej 10ega dela od 320 dnij, t. j. 32 dnij.

7. Ako iznaša zračni tlak na 1 1/2 dm2 154 kg, kolik je zračni tlak na 1 m2?

8. Izmed dveh delavcev zasluži jeden v 4 dneh toliko, kolikor drugi v 5 dneh; ako torej prvi v 15 dneh 18 3/4 gl. zasluži, koliko zasluži drugi v istem času?

9. Rokopis dá 126 stranij po 45 vrst; koliko stranij bi dal, ako bi se stavilo na stran le po 35 vrst?

10. Ako se zavrti kolo v 48 minutah 264krat, a) kolikokrat se zavrti v 36 minutah, b) v koliko minutah se zavrti 840krat?

11. Sprednje vozno kolo ima a m, zadnje pa b m v obsegu; kolikokrat se je zavrtelo sprednje, ako se je zavrtelo zadnje pkrat?

a = 2.8, b = 4.2, p = 170.

12.* 3000 delavcev dodela neko železnico v 9 mesecih, koliko delavcev treba še najeti, da bode železnica v 6 mesecih gotova?

13. Na njivi, imajoči 6 2/5 ha, se pridela 68 1/2 hl pšenice; a) koliko pšenice se pridela na njivi, ki ima 3 7/8 ha? b) koliko ha treba, da se pridela 37 3/4 hl pšenice?

14. Stroj vzdigne v a sekundah b kg c m visoko, v katerem času vzdigne b1 kg c1 m visoko?

enačbe.

15. 47 l olivnega olja tehta toliko kolikor 43 l vode; koliko tehta 1 l olivnega olja, ako tehta 1 l vode 1 kg?

16. Ako je razmerje med prostornino trde in zrahljane zemlje kakor 10 : 17, a) koliko zrahljane zemlje dá 248 m3 trde zemlje, b) koliko trde zemlje dá 300 m3 zrahljane zemlje?

17. Ako vloži zidar na dan v podzidje po 500, v oblok pa le po 325 opek, in se mu plača za 1 m3 podzidja 1 gl. 25 kr., koliko potem za 1 m3 obloka?

18. 15 delavcev dovrši neko delo v 10 dneh, ako delajo po 12 ur na dan, koliko delavcev treba najeti, da bodo izgotovili isto delo v 6 dneh, ako delajo le po 10 ur na dan?

19. Dvoje zobatih koles zaseza drugo v drugo; A ima 60, B 120 zobcev; kolikokrat se zavrti B v 36 sekundah, ako se zavrti A v 12 sekundah 10krat?

Na pamet. Ker ima B 120 in ne 60 zobcev, zavrtelo se bode le polovico od 10krat, t. j. 5krat; ker se pa ne vrti 12, ampak 36 sekund, zavrtelo se bode 3krat 5 = 15krat.

20. Parni stroj 4 konjskih sil vzdigne v 5 sekundah 1500 kg 1 m visoko; koliko kg bode vzdignil stroj 6 konjskih sil v 12 sekundah prav takó visoko?

21. Travnik, kateri je 512 m dolg in 72 m širok, dá 10 vozov sena po 900 kg; koliko vozov sena po 1000 kg bode dal 384 m dolg in 192 m širok travnik?

22.* 20 delavcev izkoplje 80 m dolg, 5 m širok in 2 m globok prekop v 18 dneh; koliko delavcev bode izkopalo 120 m dolg, 6 m širok in 3 m globok prekop v 36 dneh?

Na pamet. Ako bi bil prekop 40 m in ne 80 m dolg, treba bi bilo le

1/2 od 20, t. j. 10 delavcev; ker pa je prekop 120 m, tedaj 3krat takó dolg, treba bode 3krat 10, t. j. 30 delavcev; i. t. d.

23. 4500 môž ima kruha za 8 mesecev, ako ga dobiva vsak po 1 1/4 kg na dan. A pride jih še 500 môž, koliko kg bode treba dati vsakemu na dan, ako hočejo izhajati s kruhom 7 1/2 meseca?

24. V rudniku sta dva parna stroja, prvi vzdigne vsake 2 minuti 7 hl vode 84 m visoko, drugi vsake 3 minute 10 hl vode 108 m visoko. V koliko minutah spravila bi oba dva stroja 2550 hl vode 120 m visoko?

25. A ima toliko volne, da je môči iz nje natkati 16 kosov sukna, ako je vsak po 54 m dolg in po 3/4 m širok. Iz nekaj volne se natkata 2 kosa 1 1/4 m širokega sukna, vsak kos po 48 m; koliko kosov 1 1/4 m širokega sukna, kos po 44 m, je môči iz ostale volne natkati?

26. 6 delavcev je izkopalo v 4 dneh 300 m dolg, 8 1/3 dm širok in 6 dm globok prekop. Pri druzem prekopu se potrebuje za 2 1/3 m3 prav toliko časa kakor pri prvem za 4 1/2 m3. a) Koliko delavcev je treba, da izkopljejo drugi 245 m dolgi, 11 2/3 dm široki in 3 1/2 dm globoki prekop v 9 dneh; b) v koliko dneh izkoplje drugi prekop 10 delavcev, ako je le-tá 250 m dolg, 9 3/4 dm širok in 4 1/2 dm globok?

O računu od sto.

§ 132.

Ako zaznamenujemo procente s p in iznesek od vsote s z i, dobimo sorazmerje

i : p = s : 100,

in odtod

i = sp/100,

t. j.: Pri procentnem računu od sto je iznesek jednak 100tnemu delu produkta iz dane vsote in procentov.

Pri promilu treba dano vsoto pomnožiti s promilom ter produkt razdeliti s 1000.

Za s in p dobimo iz prejšnjega sorazmerja

enačbi.

Izrazi tudi te dve formuli z besedami,

Procentne račune razrešujemo tudi s pomočjo sklepovnega računa. Jednostavnejše naloge razreši kar na pamet.

Primeri.

1.) Koliko je enačbe

S pomočjo sklepovnega računa:

2.) Katera vsota dá po 5 % 87 za iznesek?

Po sklepovnem računu:

5 % iskane vsote je 87,

enačba;

tedaj vsota sama = 17,4.100 = 1740.

3.) Koliko % je 18 gl. od 450 gl.?

Po sklepovnem računu:

1 % od 450 gl. je 4 1/2 gl.; 18 gl. je torej toliko % od 450 gl., kolikorkrat ima 18 gl. 4 1/2 gl. v sebi, tedaj 4 %.

O računu nad sto.

§ 133.

Za procentni račun nad sto velja, ako imajo p, v in z isti pomen kakor v § 132., sorazmerje

Primeri.

1.) Koliko iznašajo 4 % nad sto od 2912 gl.

2.) Katera vsota dá po 6 % nad sto 75 gl. za iznesek?

3.) Koliko % nad sto je 120 gl. od 3120 gl.?

Tu dobimo

enačba,

tedaj 3120p = 12000 + 120p in iz te jednačbe p = 4 %.

O računu pod sto.

§ 134.

Ako pomenijo p, v, z prav tisto kakor prej, dobimo za procentni račun pod sto

Primeri.

1.) Koliko je 5 % pod sto od vsote 2109 gl.?

2. Od katere vsote iznašajo 4% pod sto 64 gl.

3. Po koliko % pod sto dá 5031 gl. 129 gl. za iznesek?

Naloge.

2. Koliko je

3. Koliko je

4. Kolik iznesek dá vsota 5280 gl. po a) l/3 %, b) 3 1/4 %, c) 4 3/4 %, d) 5 1/2 %, e) 6 3/8 %?

5. Izmed 409 35letnih ljudij jih umrje 40 % do 60. leta; koliko jih učaka torej 60. leta?

6. 6350 m dolga cesta je napeta za 1,8 %; koliko m iznaša tedaj napetost?

7. Prebivalstvo mesta, katero je imelo leta 1840. 15860 duš pomnožilo se je do leta 1880. za 25 %; koliko prebivalcev je imelo tedaj mesto leta 1880.?

8. Za neki zid se potrebuje 64800 opek; koliko opek je treba kupiti, ako se jih 8 1/2 % polomi in drugače poizgubi?

9. Dolnja Avstrijska ima 1885840 ha rodovitne zemlje, in sicer 42 1/2 njiv; koliko ha ima njiv?

10.* Katera vsota dá

števila za iznesek?

11. Koliko duš ima mesto, ako jih iznaša 22 % 572?

12. Ako dobiš iz pese 5 % neprečiščenega cukra, koliko kg pese je treba za 47200 kg neprečiščenega cukra?

13. Goveje meso izgubi, ako se skuha, 15 % svoje teže; a) koliko tehta 3 1/4 kg sirovega mesa (brez kostij), kadar je kuhano? b) koliko sirovega mesa treba vsak dan za 12 oseb kupiti, da dobi vsaka 1/8 kg kuhanega mesa?

14. Koliko % je

15. Koliko % je

16. V sreberni zlitini, tehtajoči 12 1/2 kg, je 5 kg bakra; koliko % bakra je v tej zlitini?

17. Ako prežgeš 25 kg kave, dobiš le 21 3/4 kg žgane kave; koliko % svoje teže izgubi tedaj kava, ako se prežge?

18. Česka je imela leta 1780. 2561794, leta 1870. pa 5140156 prebivalcev; za koliko % se je tedaj nje prebivalstvo v tej dobi pomnožilo?

19. Kolik je iznesek nad sto od vsote

20. Koliko ostane od a) 3528 gl., b) 907,48 gl. po odbitku 2 % nad sto?

21. Koliko % nad sto je 105 gl. od 3105 gl.?

Kolik je iznesek pod sto od

23. Izračunaj vsote k tém-le izneskom in procentom:

24. Koliko % pod sto je 66 gl. od 3234 gl.?

25. Nekdo plača davek in 32 % priklada; koliko plačuje davka, ako je plačal vsega skupaj 125 gl. 40 kr.?

26. Koliko plačuje kmet davka, ako plača po odbitku 4 % popusta 398 gl. 40 kr.?

27. Trgovec je iztržil za neko blago po odbitku 2 1/2 % stroškov 6676 4/5 gl.; koliko je bilo stroškov?

28. Pri nakupu blaga je iznašal 3 1/4 % odbitek 175 1/2 gl.; koliko gl. je plačal kupec?

O tari.

§ 135.

Ako zvagamo blago s posodo vred, v kateri je, imenujemo to težo surovo ali nečisto težo (Brutto-, Sporcogewicht). Odbitek od nečiste teže zaradi posodne teže zovemo taro (Tara) in težo blaga samega čisto težo (Nettogewicht). Tara je dana dostikrat v procentih; v tem slučaji jo je računati od nečiste teže po procentnem računu od sto. Decimalke se jemljejo v poštev le pri zelo dragem blagu, sicer pa se ali prezirajo ali pa se število kilogramov za 1 poveča, ako iznašajo 5 ali več kakor 5 desetin. N. pr.

Koliko velja 5 vreč kave, ako iznaša nečista teža 773 kg, tara 5 % ter se računa 100 kg čiste teže po 165 gl.?

O skontu ali rabatu.

§ 136.

Kupcu, ki kupuje blago na debelo, ni treba blaga precej plačati, nego še le o določenem roku, a zaradi tega zaračuna se mu blago nekoliko dražje. Ako pa kupec blago vender le precej plača,

dovoliti se mu mora zaradi gotovega plačila odbitek od kupnine; ta odbitek se zove blagovni diskont, skonto, tudi rabat (Warendiscont, Sconto, Rabatt) ter se računa po procentih od sto. Ako se odšteje skonto od kupnine, zove se ostanek gotovo plačilo (contante Zahlung).

Pri marsikaterem blagu določuje izdelovalec sam ceno, po kateri se morajo njega izdelki na drobno prodajati, prodajalcu na drobno pa dovoljuje kot odškodnino za stroške in trud odbitek od omenjene cene; tudi tak odbitek se imenuje rabat. Tak je n. pr. knjigarski rabat (Buchhändlerrabatt). Ta iznaša navadno take procente, s katerimi je prav pripravno računati; n. pr. 33 1/8 % ali

1/3 one cene, po kateri se knjiga prodaja, 25 %, 20 %. Knjigarski rabat se računa po procentnem računu od sto, dostikrat pa se tudi kar kratko delitev uporablja.

N. pr.

1.) Nekdo je kupil za 5192 gl. blaga; a) koliko iznaša skonto po 2 %, b) koliko je gotovega plačila?

Kupnine je gl. 5192
2 % skonta je » 103.84

gotovega plačila je gl. 5088.16.

2.) Knjigar-založnik je razposlal knjig, vrednih 2518 gl.; koliko ima zanje terjati, ako daje 20 % rabata?

O senzariji.

§ 137.

Zaprisežene osebe, katerim je posredovati med trgovci istega mesta pri nakupu in prodaji blaga, zovejo se mešetarji ali senzali (Mäkler, Sensale). Nagrada, katero dobé za svoj trud, zove se mešetarina ali senzarija (Sensarie, Courtage).

Senzarija iznaša pri blagu navadno 1 %, in sicer plača kupec 1/2 %, prodajalec 1/2 %, pri menicah pa 1 ‰.

N. pr.

1.) Koliko iznaša 1/2 % senzarije pri blagu, prodanem za 4580 gl.; koliko dobi za blago prodajalec in koliko mora kupec plačati?

4580 po 1/2 %

22.90 gl. senzarije.

Prodajalec dobi:

za blago ... gl. 4580
ako se odbije 1/2 % senzarije ... 22.90

ostane mu čistega ... gl. 4557.10.

Kupec plača:

za blago … gl. 4580
1/2 % senzarije … 22.90

vsega skupaj … gl. 4602.90.

2.) Za koliko se je kupilo državnih papirjev, ako iznaša 1 ‰ senzarije 5 gl. 64 kr.?

x = 5.64.1000 = 5640 gl.

O proviziji.

§ 138.

Dostikrat naroči kdo komu druzemu, da izvrši zanj kako opravilo, n. pr. da kupi ali proda kako blago; osebo, katera nálog daje, zovemo poveritelja ali komitenta (Committent), osebo pa, katera nálog dobi in izvrši, poverjenika, opravnika ali komisijonarja (Commissionär). Nagrada, katero poverjenik za svoj trud dobi, zove se provizija ali opravnina (Provision, Commission) ter se računa po procentih od sto.

Pri nakupu se računa provizija od kupnine, povečane za vse druge stroške. V tem slučaji treba potem provizijo k prejšnjemu iznesku prišteti. Pri prodaji se računa provizija kar od izkupnine, predno so se odšteli drugi stroški. Provizijo treba tu z vsemi druzimi stroški vred od prvotne izkupnine odšteti; kar ostane, je čista izkupnina za prodano blago.

Račun, katerega pošlje poverjenik svojemu poveritelju o kupljenem ali prodanem blagu, zove se oziroma nakupni račun (Faktura) ali prodajni račun.

Primeri.

1.) Koliko iznaša provizija po 1/2 %, in kolika je čista izkupnina, ki se dobi za prodano menico, glasečo se na 1785.12 gl.?

1785.12 po 1/2 %

8.9256 gl. proviz.

Menični iznesek … 1785.12 gl.
ako se odbije 1/2 % proviz. … 8.93 gl.

ostane čiste izkupnine … 1776.19 gl.

2.) Tržačan kupi za Dunajčana 3 zaboje sicilijanskega grozdjiča št. 12. do 14., nečiste teže 768 kg, tare po 18 kg od zaboja, 100 kg čiste teže po 31 gl. Izračunaj iznesek, o katerem se pošlje faktura, ako iznašajo stroški za zaboje, nakladanje, i. t. d. 15.58 gl., in se računa 1/2 % senzarije in 2 % provizije.

3.) Pražan zaukaže prodati v Vratislavu 218 cnt. pšenice, in sicer 200 funtov po 19.80 marke; vozarina iznaša 30 pfenigov od cnt.; darila za merjenje, pijačo, i, t. d. se plača 10.80 marke, senzarije pa 1/2 %; koliko je čiste izkupnine, ako se računa 2 1/4 % provizije?

O zavarovalnini.

§ 139.

Društva, katera prevzemó proti določeni pristojbini odškodovanje za nezgode in izgube, nastale bodi si vsled prirodnih, bodi si vsled izvenrednih dogodkov, zovejo se zavarovalna društva (Assecuranz-Gesellschaften). Pristojbino, katero jim treba naprej plačati za to, da prevzemó odškodovanje, imenujemo zavarovalnino (Versicherungsprämie), pismo pa, s katerim potrjujejo, da se je kdo

res in za koliko se je zavaroval, polico (Polizze). Zavarovalnina se računa od zavarovane vsote po procentih od sto. N. pr.

Kolika je zavarovalnina od zavarovanih 15280 gl. po 1 5/8 %?

O dobičku in izgubi.

§ 140.

Pri računih o dobičku in izgubi treba paziti na troje: na razhodke pri nakupu, na dohodke pri prodaji in na dobiček ali izgubo. Trgovci računajo dobiček in izgubo navadno po procentih; n. pr. 6 % dobička imeti se pravi, za 100 gl., ki so se izdali pri nakupu, dobiti 106 gl. pri prodaji; 6 % izgube pa, za 100 gl., izdanih pri nakupu, le 94 gl. pri prodaji iztržiti.

N. pr.

1.) Trgovec kupi m sukna po 4 gl. 80 kr.; po čem mora m prodati, da bode imel 15 % dobička?

4.8 po 15 %
240

0.720 gl. dobička.

Kupna cena 4 gl. 80 kr.
15 % dobička — gl. 72 kr.

prodajna cena 5 gl. 52 kr.

2.) Blago, katero se je za 725 gl. kupilo, moralo se je za 674 gl. 25 kr. prodati; koliko % je bilo izgube?

Kupnina 725 gl.
izkupnina 674 gl. 25 kr.

izguba 50 gl. 75 kr.

Naloge.

1. Blago ima 2792 kg nečiste teže; kolika je njega čista teža, ako se računa tare a) 3 %, b) 5 1/2 %, c) 12 %?

2. Blago ima 2150 kg nečiste in 1978 kg čiste teže; koliko % iznaša tara?

3. Koliko iznaša skonto po 2 1/4 % pri a) 2577 gl., b) 3538 gl., c) 939.85 gl., d) 1714.17 gl.?

4. Koliko veljajo 4 sodi smokev, imajoči 518 kg nečiste teže, ako 10 % tare ter se plača za vsacih 100 kg čiste teže po 24 gl., in se računa 1 1/2 % skonta?

5.* 20 %, 25 %, 33 1/3 % rabata je koliki del one cene, po kateri se knjiga prodaja?

6.* Koliko iznaša rabat po 33 1/8 %, ako kupi kdo knjig za a) 1518.24 gl., b) 917 3/5 marke?

7.* Koliko je senzarije po 1/2 % od

a) 918 gl.?
b) 506 gl. 58 kr.?
c) 3096 gl.?
d) 2744 gl. 87 kr.?

8. Za kupljeno blago se plača s 1/2 % senzarije vred 2653 gl. 40 kr.; kolika je prvotna kupnina?

9. Koliko je provizije po 2 % od

a) 458 gl.?
b) 720 gl.?
c) 912 gl. 50 kr.?
d) 1325 gl.?
e) 3915 gl.?
f) 1118 gl. 75 kr.?

10. Koliko je provizije od 4760 gl. po

a) 1/2 %?
b) 5/8 %?
c) 1/2 %?
d) 1 3/4 %?

11. Nekdo proda za nekoga druzega blaga za 2085 gl. 25 kr.; koliko ostane prodajalcu po odbitku 1 3/4 % provizije?

12. Neko blago stane pri nakupu z 2 % provizije vred 3207 gl. 90 kr.; a) koliko je provizije, b) kolika kupnina sama?

13. Za prodano blago se iztrži po odbitku 2 % provizije 2158 gl. 88 kr.; koliko iznaša provizija?

14. Trgovec proda za nekoga druzega blaga za 3518 gl., mešetarju plača 1/2 %, zá-se pa zaračuna 1 3/4 % provizije; koliko dobi prodajalec?

15. Koliko treba plačati za 2308 kg nečiste teže, ako iznaša tara 8 %, 100 kg čiste teže pa velja 85.72 gl., in se računa 2 % skonta in 1 5/8 provizije?

16. Koliko zavarovalnine treba plačati od 7850 gl.

a) po 1/2 %?
b) po 3/8 %?
c) po 1 %?
d) po 1 1/2 %?

17.* Hišni posestnik je zavaroval pri zavarovalnem društvu svojo hišo ter plačal 18 gl. 84 kr.; koliko je hiša vredna, ako je računalo društvo 1/2 % hišine vrednosti?

18.* 5 %, 6 1/4 %, 8 1/3 %, 10 %, 12 1/2 %, 16 2/3 %, 20 % dobička koliki del kupnine?

19.* Za koliko treba prodati blago, katero se je za 780 gl. kupilo, da bode a) 10 % dobička, b) 10 % izgube?

20. Pri blagu, katero se je za 4250 gl. kupilo, je bilo pri prodaji 340 gl. dobička; koliko % je bilo dobička?

21. Trgovec je iztržil za blago, pri katerem je imel 3 % izgube, 1040 gl.; a) koliko je imel izgube, b) za koliko je bil blago kupil?

22. Nekdo je iztržil za prodano blago 1590 gl., koliko % je imel dobička, ako je iznašal le-tá 90 gl.?

23. Za prodano blago se je iztržilo 1590 gl., koliko % je bilo izgube, ako je iznašala le-tá 90 gl.?

24. Dunajčan dobi iz Trsta 4 zaboje grozdjiča, imajoče 972 kg nečiste teže, tare se računa po 18 kg od zaboja, 100 kg čiste teže po 30 gl., senzarije 1/2 %, provizije 2 %; carina, vozarina in drugi stroški iznašajo 68 gl. 64 kr.; po čem mora kg prodati, ako hoče imeti 15 % dobička?

1. O jednostavnem obrestnem računu.

§ 141.

Denar, katerega kdo ali sam takó uporablja, da mu kaj nese, ali komu druzemu s tem pogojem posodi, da mu plačuje le-tá za uporabo določen iznesek, slednjič pa vender le ves posojen denar zopet povrne, imenujemo kapital ali glavnico (Kapital), iznesek pa, kateri se plačuje za uporabo kapitala, obresti (Zinsen, Interessen). Obresti se računajo po procentih; le-ti veljajo za 100 kapitalnih jednot in za časovno jednoto, navadno za jedno leto. Leto se računa pri obrestnih računih po 360 dnij, mesec po 30 dnij.

Obrestni račun je tedaj procenten račun, pri katerem pa treba razven količin, ki se v vsakem procentnem računu nahajajo, v poštev jemati še čas.

Obresti imenujemo jednostavne ali proste (einfache Zinsen), ako ostane kapital ves čas, ko tečejo obresti, neizpremenjen; ako se pa obresti koncem vsacega leta ali poluleta h kapitalu pridevajo in same zopet na obresti nalagajo, ondaj jih imenujemo obrestne obresti (Zinseszinsen).

§ 142.

Podloga obrestnemu računu je sestavljeno sorazmerje; toda vsako tako nalogo je môči tudi s pomočjo sklepovnega računa razrešiti. Sklepovni račun nam rabi posebno, kadar računamo na pamet.

N. pr. Kapital 1346 gl. je po 5 % naložen; koliko obrestij dá v 3 letih?

Uporabljajoč sklepovni račun, dobimo:

1346 gl. kap. dá po 1 % let. 1346/100 gl. obrestij
enačbe

Uporabljajoč sestavljeno sorazmerje:

V obče: Ako zaznamenujemo kapital, procente, število let in obresti oziroma s k, p, l in o, dobimo na isti način

in odtod

Izrazi te formule z besedami.

Primeri.

1.) Koliko obrestij dá 350 gl. po 4 % v 3 letih?

a) Na pamet. 350 gl. dá v 1 letu po 1 % 100tni del od 350 gl., tedaj 3 1/2 gl., po 4 % torej 4krat 3 1/2 gl. = 14 gl.; v 3 letih tedaj 3krat 14 gl. = 42 gl. obrestij.

b) Po formuli: enačba.

2.) Kateri kapital dá po 4 % v 5 letih 540 gl. obrestij?

a) Na pamet.

tedaj je kapital sam = 100krat 27 gl. = 2700 gl.

b) Po formuli: enačba.

3.) Po koliko % treba 3450 gl. kapitala na obresti naložiti, da bode dal v 2 letih 276 gl. obrestij?

a) Na pamet. Po 1 % dá 3450 gl. kap. v 1 letu. 34 1/2 gl., v 2 letih 69 gl.; 276 gl. je tedaj toliko %, kolikorkrat ima 276 število 69 v sebi, torej 4 %.

b) Po formuli: enačba.

4.) Koliko časa treba imeti kapital 4800 gl. po 5 % izposojen, da bode dal 600 gl. obrestij?

a) Na pamet. 4800 gl. dá v 1 letu po 1 % 48 gl., po 5 % tedaj 5krat 48 gl. = 240 gl., 600 gl. obrestij dá tedaj isti kapital v toliko letih, kolikorkrat je 240 v 600, torej v 2 1/2 leta.

b) Po formuli: enačba leta.

§ 143.

Navadno pa se računajo obresti za kateri koli kapital in kateri koli čas takó-le:

1.) Najprej izračunaj obresti za jedno leto po procentnem računu, pomnoživši stotni del kapitala s procenti.

2.) Obresti za več let dobiš, ako pomnožiš obresti za jedno leto s številom let.

3.) Ako so dani tudi meseci in dnevi, uporabljaj razstavni način (Zerfällungsmethode); mesece razstavi namreč na pripravne dele leta, in dneve na pripravne dele meseca, potem vzemi od obrestij za jedno leto, oziroma za jeden mesec prav toliko delov in vse te izneske prištej k obrestim za leta.

N. pr. Koliko obrestij dá 4850 gl. kapitala po 4 1/2 % v 3 letih 7 mesecih 12 dneh?

§ 144.

Dostikrat treba izračunati obresti le za določeno število dnij. V tem slučaji izračunaj najprej obresti za 6 % in iz teh po razstavnem načinu obresti za dane procente.

Ako je k oni kapital, kateri je po 6 % d dnij na obresti naložen, ondaj dobimo

t. j. obresti po 6 % za določeno število dnij dobimo, ako pomnožimo kapital s številom dnij ter ta produkt najprej s 1000 in potem še s 6 razdelimo.

N. pr. 1.) Koliko obrestij dá 780 gl. kapitala po 6 % od dne 3. aprila do dne 12. avgusta?

Od dne 3. aprila do dne 3. avgusta so 4 m.= 120 dn.

2.) Koliko obrestij dá 4559 gl. 80 kr. po 8 % v 57 dneh?

Naloge.

1.* Izračunaj letne obresti od

2.* Koliko iznašajo obresti po 4 % od

a) 200 gl. v 3 letih?
b) 525 gl. v 5 letih?
c) 465 gl. v 8 letih?
d) 255 gl. v 6 letih?

3.* Vdova ima naloženih svojih 9560 gl. kapitala po 5 1/2 %; koliko sme na dan potrošiti, ako živi o samih obrestih onega kapitala?

4. Koliko obrestij dá

a) 4105 gl. po 5 % v 3 letih?
b) 2412 gl. po 5 3/4 % v 5 letih?

5. Koliko obrestij dá 1428 gl.

a) po 5 % v 4 mesecih?
b) po 6 % v 7 mesecih?
c) po 42 1/2 % v 5 mesecih?
d) po 5 3/4 % v 9 mesecih?

6. Koliko obrestij dá

a) 6720 gl. po 4 % v 1 letu 5 mesecih?
b) 2928 gl. po 5 1/4 % v 2 letih 7 mes. 15 dneh?
c) 5704 gl. po 6 1/2 % v 3 letih 10 mes. 20 dneh?

7. Koliko iznašajo obresti po 6 % od

a) 984 gl. v 65 dneh?
b) 2250 gl. v 212 dneh?
c) 2127.6 gl. v 96 dneh?
d) 3284 gl. v 192 dneh?

8. Koliko obrestij dá

8888 gl. kapitala po 7 % v 12 dneh?
1278 gl. kapitala po 6 1/2 % v 147 dneh?

9. Koliko obrestij dá

945 gl. po 5 1/4 % od dne 1. avg. do dne 7. nov.?
9379 gl. po 6 1/2 % od dne 25. maja do dne 3. okt.?

10. Na koliko narase kapital k v 1 letih, ako je po p % na jednostavne obresti naložen?

11. Na nekem posestvu je 8500 gl. dolga; čez 2 leti plača posestnik dolg in 5 1/2 % obresti; koliko mora plačati?

12.* Kolikokrat večji je kapital od letnih obrestij a) po 5 %,

b) po 4 %?

13.* Kateri kapital daje na leto obrestij

števila?

14.* Kateri kapital dá po 5 % v 3 letih

a) 75 gl.,
b) 90 gl.,
c) 125 gl. obrestij?

15. Izračunaj kapital, kateri dá

a) po 4 % v 2 let. 70 gl. obrestij,
b) po 5 % v 1 1/2 let. 92 11/20 gl. obrestij.

16. Kateri kapital dá

a) po 4 1/2 % v 3 let. 837 gl. obrestij?
b) po 6 1/2 % v 1 let. 390 gl. obrestij?

17.* Koliko % se računa, ako dá v 1 letu

a) 800 gl. kap. 40 gl. obrestij?
b) 1500 gl. kap. 80 gl. obrestij?
c) 600 gl. kap. 27 gl. obrestij?
d) 1400 gl. kap. 63 gl. obrestij?

18.* Koliko % se računa, ako dá

a) 400 gl. kap. v 2 let. 28 gl. obrestij?
b) 700 gl. kap. v 4 let. 140 gl. obrestij?
c) 800 gl. kap. v 2 1/2 let. 120 gl. obrestij?

19. Po koliko % dá 4260 gl. kapitala v 3 letih 4 mesecih 710 gl. obrestij?

20. Neki kapital dá v 3 letih po 4 1/2 % 60 3/4 gl. obrestij, drug, za 150 gl. večji kapital pa dá v istem času 90 gl. obrestij; po koliko % je drugi kapital na obresti naložen?

21. Po koliko % treba 9110 gl. na obresti naložiti, da dadé od dne 2. maja do dne 15. oktobra 205 gl. 23 kr. obrestij?

22. Po koliko % treba kapital na obresti naložiti, da bodo jednostavne obresti a) v 20, b) v 25, c) v 33 1/3 let. kapitalu jednake?

23.* V katerem času dá

24. V katerem času dá

25. Koliko časa mora kapital na obresti naložen biti, da iznašajo obresti a) po 4 %, b) po 5 %, c) po 6 % prav toliko kakor kapital?

2. O diskontnem računu.

§ 145.

Recimo, da kdo kako vsoto, katero ima brez obrestij še le čez nekaj časa plačati, takój izplača; v tem slučaji mu očividno ne bode treba plačati vsega, kar je dolžan, nego plačal bode le oni iznesek, kateri dá, za obresti, ki bi narastle do plačilnega roka, povečan, ves dolg; dolžniku se mora dovoliti tedaj v tem slučaji neki odbitek. Ta odbitek se zove diskont (Discont) ter se računa po procentih. Ako odštejemo diskont od dolga, zove se ostanek gotova, sedanja ali diskontovana kapitalna vrednost (bare, gegenwärtige, discontierte Wert des Capitals).

N. pr. Nekdo hoče takój izplačati brezobresten dolg 418 gl., katere je dolžan še le čez 1 1/2 leta plačati; a) koliko odbitka se mu mora dovoliti, ako se računa 6 % diskonta na leto, b) koliko je gotovega plačila?

100 gl. takój je vrednih, ako se računa 6 % obrestij, čez 1 1/2 leta 109 gl.; obratno: 109 gl., katere treba brez obrestij še le čez 1 1/2 leta plačati, vrednih je sedaj le 100 gl., ali od vsakih 109 gl. treba 9 gl. diskonta odbiti, ako se plačajo 1 1/2 leta prej. Tedaj

a) 109 gl. dolga 9 gl. disk.
418 gl. dolga x gl. disk.

x : 9 = 418 : 109
x = 34.51 gl. disk.

b) Dolga je … 418 gl.
odštev. 6 % disk. za 1 1/2 l. … 34.51 gl.

ostane gotovega plačila … 383.49 gl.

Preskušnja.

Gotovo plačilo 383.49 gl.
6 % obresti za 1 1/2 leta 34.51 gl.
kapital čez 1 1/2 leta 418.-- gl.

Iz tega je razvidno, da je računati diskont nad sto.

Ako bi računali diskont od sto, dobili bi:

418 gl. po 9 %
37.62 gl. diskonta

Dolga 418 gl.
odštev. disk. 37.62 gl.
ostane gotovega plačila 380.38 gl.

Toda 380.38 gl. gotovega plačila ne dalo bi s 6% obrestimi vred čez 1 1/2 leta dolžni kapital 418 gl., ampak le 414.61 gl.

Ker pa je račun od sto pripravnejši nego račun nad sto, in razloček med obema rezultatoma za kratke roke neznaten, zato računajo trgovci diskont ali skonto pri izneskih za blago (§ 136.) vsikdar po pripravnejšem računu od sto, kajti tu gre navadno le za kratke roke. Iz prav tistih vzrokov se računa tudi menični diskont, o katerem bodemo pozneje (§ 165.) govorili, vselej od sto.

Ako je v obče v vsota, izplačna čez n let brez obrestij, g gotovo plačilo, katero mora dolžnik plačati, ako se računa p % diskonta, ondaj velja

Naloge.

1. Kateri kapital narase v 6 letih s 5 1/2 % obrestimi vred na 452 gl. 20 kr.?

2. Dolžnik plača upniku 5359 gl. ter poplača s tem kapital in 52 % obresti za 3 leta; koliko iznašajo obresti in kolik je kapital?

3. Nekdo bi moral čez 1 leto 2345 gl. plačati; a on plača takój ter dobi 5 % diskonta; koliko iznaša a) diskont, b) gotovo plačilo?

4. Koliko je vrednih 850 gl., katere treba čez 2 leti plačati, sedaj, ako se računa 5 % diskonta?

5. A ponuja za neko hišo 11820 gl. s tem pogojem, da bode kupnino še le čez 3 leta plačal; koliko gl. je ponudba sedaj vredna, ako se računa 5 % diskonta?

6. A mora B-ju 1245 gl., čez 5 let plačati; koliko bi mu moral čez 2 leti plačati, ako se računa 5 1/4 % diskonta?

7. Za 980 gl., izplačnih čez 6 mesecev, plača se takój 931 gl.; koliko % diskonta se računa?

8. A posodi B-ju 1850 gl. po 6 % ter mu obresti za 1 leto precej odtegne; za koliko je B na škodi, kateri bi moral obresti prav za prav še le koncem leta plačati?

9. A ponuja za neko posestvo 40 000 gl. v gotovini, B pa 44 000 gl., in sicer hoče 20 000 gl. precej, ostalo vsoto pa čez 2 leti plačati. Kateri ponuja več, ako se računa 5 3/4 % diskonta?

3. O rokovnem računu.

§ 146.

Dostikrat se plačajo brezobrestne vsote, katere bi trebalo drugo za drugo ob določenih rokih (Termine) plačati, vse kar ob jednem, ali pa ob druzih rokih nego je bilo s prva določeno. Kedaj naj se to zgodi, da ne bode niti dolžniku niti upniku na škodo, uči rokovni račun (Terminrechnung).

Recimo, da so c1, c2, c3 oni kapitali, katere treba oziroma čez m1, m2, m3 let (mesecev) brez obrestij plačati. Vzemimo dalje, da se plačajo vsi ob jednem in to čez t let (mesecev).

Da ne bode na ta način oškodovan niti dolžnik niti upnik, treba, da je gotova vrednost vsega plačila jednaka vsoti gotovih vrednostij vseh posamičnih plačil. Določujoč gotove vrednosti bi morali računati diskont nad sto (Hoffmann-ov način). V resnici pa se navadno uporablja ne takó natančni, a pripravnejši Carpsow-ov način, kateremu je podstava diskont od sto, t. j. obresti. Ta način se opira tedaj na izrek: Obresti vsega plačila c1 + c2 + c3 morajo tolike biti kakor obresti posamičnih

plačil c1, c2, c3 skupaj. Tedaj, ako vzamemo obrestno mero po p %, je

ali, ako razdelimo s p/100,

enačba.

Iz te jednačbe je môči vsako posamično količino določiti, ako so znane vse druge.

Navadno treba poiskati t, t. j. poprečni plačilni rok (mittlerer Zahlungstermin). Iz prejšnje jednačbe dobimo

t. j. poprečni plačilni rok najdemo, ako pomnožimo vsako posamično plačilo z njegovim rokom ter vsoto teh produktov razdelimo z vsoto vseh posamičnih plačil.

N. pr. A je kupil hišo za 8000 gl. s tem pogojem, da plača kupnino v več obrokih, ne da bi se mu računale obresti, in sicer: 3500 gl. čez 2 meseca, 2000 gl. čez 3 mesece, 1500 gl. čez 4 mesece in 1000 gl. čez 5 mesecev; kedaj plača lahko vso kupnino ob jednem? (Poprečni plačilni rok).

3500 gl. čez 2 mes. … 7000
enačba

Kakó se lahko prepričaš, je-li rezultat prav?

Dostavek. Kadar so posamična plačila jednaka, in sicer vsako = c, ondaj je poprečni plačilni rok

tedaj jednak poprečnemu številu posamičnih rokov.

§ 147.

Ako treba kapitale c1, c2, c3 oziroma čez m1, m2, m3 let (mesecev) plačati, plača pa se kapital k1 čez n1, kapital k2 čez n, let (mesecev), ondaj nastane vprašanje, kedaj treba ostanek enačba plačati, da ne bode niti dolžnik niti upnik na škodi.

Ako zaznamenujemo število teh let (mesecev) s t1, ondaj mora biti, prav takó kakor v § 146., za katere koli procente p

ali

Iz te jednačbe pa dobimo

N. pr. A bi moral čez 3 leta 300 gl., čez 4 leta 500 gl. in čez 5 let 600 gl. plačati; plača pa že čez 2 leti 400 gl. in čez 2 1/2 leta 600 gl.; kedaj bode moral ostanek plačati?

ostanek 400 gl.
3600 gl. : 400 gl. = 9.

Ostanek 400 gl. treba mu bode tedaj še le čez 9 let (od početka računano) plačati.

Naloge.

1.* Štirje kapitali po 600 gl. so čez 4, 5, 7, 8 mesecev izplačni; čez koliko mesecev se plačajo lahko vsi ob jednem?

2.* 4800 gl. treba v treh jednakih obrokih čez 2, 2 1/2 in 3 leta plačati; kedaj se plača lahko ves dolg na jedenkrat?

3.* Nekdo je dolžán 1200 gl. in od teh mora vsake 3 mesece po 300 gl. odplačati; kedaj bi moral ves dolg ob jednem plačati?

4. A mora 10000 gl. v 4 obrokih plačati, in sicer: 3000 gl. čez 4 mesece, 2500 gl. čez 6 mesecev, 2000 gl. čez 8 mesecev in kar ostane čez 1 leto; kedaj plača lahko vse ob jednem?

5. Kedaj treba plačati 1800 gl. ob jednem, ako je izplačnih 300 gl. čez 1 leto, 400 gl. čez 1 1/4 leta, 500 gl. čez 2 1/2 leta in ostanek čez 3 1/3 leta in to brez obrestij?

6. A mora B-ju plačati: 1600 gl. dne 1. julija, 1400 gl. dne 1. septembra, 1000 gl. dne 1. novembra; kedaj plača lahko vse tri kapitale ob jednem?

Roke računaj od dne 1. julija.

7. A bi moral plačati 2000 gl. čez 2 leti in 1600 gl. čez 4 leta, plača pa 2400 gl. že čez 1 1/6 leta; kedaj bode moral ostanek plačati?

8. Nekdo bi moral 3000 gl. čez 8 mesecev plačati, plača pa 1800 gl. takój; kedaj bode moral ostanek plačati?

9. A bi moral plačati 800 gl. čez 2 meseca, 500 gl. čez 3 mesece in 600 gl. čez 4 mesece, plača pa 800 gl. čez 1 mesec in 600 gl. čez 3 1/2 meseca; kedaj bode moral ostalih 500 gl. plačati?

4. O obrestnoobrestnem računu.

§ 148.

Ako se pridevajo obresti koncem vsacega leta ali poluleta h kapitalu ter se s tem vred zopet na obresti nalagajo, ondaj pravimo: kapital je naložen na obrestne obresti. (§ 141.)

Pri obrestnoobrestnem računu imamo, prav takó kakor pri jednostavnem obrestnem računu, Štiri količine, namreč: kapital, čas, procente in obresti. Obrestna doba je tudi tu jedno leto, ako se izrekoma nasprotno ne poudarja. Ako je kapital po p % na obresti naložen, narase 100 kapitalnih jednot (goldinarjev, mark) v jednem letu z obrestimi vred na 100 + p; 1 kapitalna jednota je tedaj

vredna čez 1 leto z obrestimi vred enačba. Vrednost 1 + p/100, na katero narase kapitalna jednota z obrestimi v 1 letu, imenujemo navadno obrestno mero (Zinsfuss). Za 4 % je tedaj obrestna mera enačba.

§ 149.

Naloga. Na koliko narase kapital a v m letih, ako ga po p % na obrestne obresti naložimo?

Ker je vredna kapitalna jednota z obrestimi vred čez 1 leto 1 + p/100, zato ima kapital a čez 1 leto vrednost

t. j. vrednost, na katero narase kapital v jednem letu, dobimo, pomnoživši njega početno vrednost z obrestno mero.

Naloživši novi kapital e1 zopet jedno leto na obresti, dobimo koncem leta

V 3, 4, … letih bode narasel kapital na

enačbi,

i. t. d.

Kapital bode imel tedaj koncem mnega leta vrednost

enačba,

t. j.: Končni kapital je jednak početnemu kapitalu, pomnoženemu s toliko potenco obrestne mere, kolikor je dob.

Ako je naloženih n. pr. 2000 gl. po 5 % na obrestne obresti, ondaj narasejo

v 1 let. na 2000.1.05 gl.

Ako se obresti ne pridevajo h kapitalu koncem vsacega leta nego koncem vsacega poluleta, ondaj treba vzeti dvakrat toliko dob kakor je danih let, a za vsako dobo le polovico procentov tedaj v formuli enačba za p in m oziroma p/2 in 2m. N. pr. za 4 % in 8 let dobili bi enačba.

V naslednji tablici so sestavljene že izračunane potence obrestne mere za 2, 2 1/2, 3, 4, 5 procentov in za m = 1, 2, 3, … 29, 30.

N. pr.

1.) Koliko bode vrednih 5800 gl. čez 20 let, ako se 3% obresti celoletno kapitalizujejo?

2.) Na koliko narase kapital 1234 gl. v 7 letih, ako je po 4 % na obrestne obresti naložen in se obresti poluletno kapitalizujejo? Tu treba vzeti 14 poluletij in procente za pol leta, namreč 2%, tedaj

enačba.

§ 150.

Ako pa treba obratno določiti vrednost, katero je imel kapital pred toliko in toliko časom in to oziraje se na obrestne obresti, t. j. iz končnega kapitala početni kapital izračunati, ondaj dobimo iz formule

t. j.: Početni kapital je jednak končnemu kapitalu, razdeljenemu s toliko potenco obrestne mere, kolikor je dob, ali jednak končnemu kapitalu, pomnoženemu z recipročno vrednostjo te potence.

N. pr. 2000 gl. je bilo vrednih pred 12 leti, ako se računa obrestnih obrestij

V naslednji tablici so sestavljene že izračunane recipročne vrednosti dotičnih potenc obrestne mere za 2, 22, 3, 4, 5 procentov in to za m = 1, 2, 3, … 29, 30.

N. pr.

1.) Koliko je bilo vrednih 7310.75 gl. pred 15 leti, ako se računa 5 % obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje?

Kateri kapital treba po 4 % na obrestne obresti naložiti, da bode narasel pri poluletnem kapitalizovanji v 12 letih na 5200 gl.?

Dostavek. Formule, katere smo dobili v §§ 149. in 150. za obrestne obresti, veljajo tudi za druge v stalnem razmerji rastoče količine, n. pr. za prirast prebivalstva v deželi, lesú v gozdu, i. t. d.

Naloge.

1. Na koliko narase 1350 gl. v 24 letih, ako so po 4 % na obrestne obresti naloženi?

2. Na koliko narase, ako se računajo obrestne obresti:

a) 3280 gl. po 5 % v 15 letih?
enačbi

3. Nekdo ima v hranilnici 4600 gl. Na koliko bode narasel ta kapital v 11 letih, ako plačuje hranilnica po 5 % na leto ter obresti poluletno kapitalizuje?

4. Nekdo naloži 3560 gl. po 4 % s tem pogojem na obresti, da se le-té poluletno kapitalizujejo; na koliko bode narasel kapital, v 10 letih?

5. Gozd ima sedaj 9800 m3 lesú; koliko ga bode imel čez 10 let, ako ga vsako leto po 3 % priraste?

6. Neko mesto je imelo leta 1850. 35 846 prebivalcev; koliko jih je imelo leta 1880., ako se je pomnožilo prebivalstvo vsako leto za 2 1/2 %?

7. Nekdo mora plačati 3000 gl. čez 1 leto, 2000 gl. čez 2 leti, 1000 gl. čez 3 leta in 4000 gl. čez 4 leta; koliko bodo vsi ti izneski čez 4 leta vredni, ako se računa 5 % obrestnih obrestij in se obresti celoletno kapitalizujejo?

8. Nekdo je nosil 4 leta zaporedoma v začetku vsacega poluleta po 140 gl. v hranilnico; koliko si je prihranil v tem času, ako plačuje hranilnica za pol leta 2 % obrestij in te poluletno kapitalizuje?

9. Koliko je bilo vrednih 2485 gl. pred 5 leti, ako se računa 5 % obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje?

10. Koliko je 8500 gl., izplačnih čez 9 let, sedaj vrednih, ako se računa 4 % obrestnih obrestij ter celoletno kapitalizovanje?

11. Koliko je sedaj vrednih 750 gl., izplačnih čez 25 l., ako se računa 3% obr. obrestij?

12. Kateri kapital treba po 4 % na obrestne obresti naložiti, da narase v 7 letih na 4711.03 gl.?

13. Kateri kapital treba po 5 % na obrestne obresti s poluletnim kapitalizovanjem naložiti, da narase v 20 letih na 8000 gl.?

14. Neka dežela ima sedaj 1258750 prebivalcev; koliko jih je imela pred 25 leti, ako jih je vsako leto po 2 1/2 % priraslo?

15. Nekdo hoče njivo prodati. A mu ponuja 3600 gl. v gotovini, B 4250 izplačnih brez obrestij čez 2 leti, C 4310 gl., izplačnih brez obrestij čez 3 leta. Katera ponudba je za prodajalca najugodnejša, ako se računa 5 % obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje?

Da bode môči ponudbe drugo z drugo primerjati, treba njih vrednost za isti čas izračunati, torej njih sedanjo ali pa njih vrednost čez 3 leta.

16. Nekdo hoče dobivati 3 leta koncem vsakega leta po 1000 gl.; koliko mora v ta namen takój naložiti, ako se računa 5 % obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje?

17. Koliko mora A B-ju dati, da mu bode ta 5 let zaporedoma koncem vsacega leta po 586 gl. izplačeval, ako se računa 4 % obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje?

18. A prevzame neko hišo ter se zaveže, da bode dosedanjemu posestniku 15 let zaporedoma koncem vsacega leta po 600 gl. izplačeval; na koliko se je hiša cenila, ako se računa 5 % obrestnih obrestij?

1. O jednostavnen družbenem računu.

§ 152.

Recimo, da je s število, katero nam je razdeliti, a, b in c pa so sorazmerska števila. Ako imenujemo neznane dele x, y in z, velja x = enačbi

Iz tega zaporednega sorazmerja dobimo té-le dve jednostavni sorazmerji:

enačbi (dostavek k § 124.),

ali, ako zamenjamo v obeh notranja člena,

x : a = y : b in y b = z : c, tedaj
x :a = y : b = z: c.

Odtod pa dobimo, uporabljajoč dostavek k § 123.,

ali, ker je pogoji x + y + z = s,

enačbe.

Pri jednostavnem družbenem računu razdeli tedaj število, katero treba razdejati na dele, z vsoto vseh razmerskih števil, dobljeni kvocijent pa pomnoži zaporedoma z vsakim razmerskim številom; produkti so iskani deli.

Ako so razmerska števila ulomki, treba vsa z najmanjšim skupnim imenovalcem pomnožiti ter takisto na cela števila pretvoriti; ako imajo vsa razmerska števila kako skupno mero, treba jih s to skupno mero okrajšati.

N. pr. Med štiri osebe A, B, C, D treba razdeliti 5610 gl. v razmerji števil števila.

Prav tisto pravilo dobimo tudi, uporabljajoč sklepovni račun. Vzemimo, da treba n. pr. 640 gl. med tri osebe A, B, C v razmerji števil 9, 7 in 4 razdeliti; koliko dobi vsaka oseba?

A dobi 9, B 7 in C 4, tedaj vsi skupaj 20 jednakih delov; 20i del od 640 gl. je 32 gl.; tedaj dobi

A 9krat 32 gl. = 288 gl.
enačbi

Takisto sklepamo posebno tedaj, kadar na pamet računamo.

2. O sestavljenem družbenem računu.

§ 153.

Vsak sestavljen družbeni račun je môči izpremeniti na jednostaven.

N. pr. Trije trgovci so se združili za neko podjetje, pri katerem je bilo 2300 gl. dobička; kakó jim je ta dobiček razdeliti, ako se je udeleževal podjetja A z 2000 gl. 8 mesecev, B s 4000 gl. 6 mesecev, C s 8000 gl. 5 mesecev?

Tu treba dobiček razdeliti ne le v razmerji vlog, ampak tudi v razmerji časa. Toda, ker je vse jedno

ali se udeležuje A z 2000 gl. 8 mes. ali pa s 16000 gl. 1 mesec,

zato morajo dobiti vsi trije v obeh slučajih prav toliko dobička.

A v druzem slučaji se udeležujejo vsi trije jednako dolgo podjetja, in zato treba razdeliti dobiček med nje le po razmerji vlog, t. j. produktov 16000 gl., 24000 gl. in 40000 gl., katere smatramo lahko za razmerska števila jednostavnega družbenega računa. Račun stoji takó-le:

Pri sestavljenem družbenem računu pomnoži tedaj vsa k istemu delu spadajoča razmerska števila drugo z druzim, dobljene produkte pa smatraj za razmerska števila jednostavnega družbenega računa in le-téga uporabi potem v razrešitev naloge.

Naloge.

1.* 175 gl. treba med dve osebi A in B takó razdeliti, da dobi A 2, B 3 jednake dele; koliko bode dobila vsaka oseba?

2.* Razstavi število 160 takó na dva dela, da se bosta imela kakor 7 : 9; kolika sta ta dva dela?

3.* Štiri osebe kupijo srečko; A dá 50 kr., B dá 1 gl., C 1 gl. 50 kr., D 2 gl. Srečki pripade dobitek 8000 gl.; koliko dobi vsaka oseba?

4. Za neko skupno podjetje dá A 2, B 1 in C ostali del potrebne vsote. Dobička imajo 240 gl.; koliko dobi vsak?

5. Za belo steklo se vzame 13 delov kremenjaka, 4 dele pepelike in 1 del krede; koliko treba vzeti vsake tvarine za 125 kg stekla?

6. Trgovec razpošlje 2133 kg kave, 1735 kg cukra in 923 kg popra ter plača vozarine 65 gl. 30 kr.; koliko vozarine pride na vsaktero blago?

7. Trgovec je dolžán: A-ju 2000 gl., B-ju 3200 gl., C-ju 1200 gl., D-ju 2800 gl., E-ju 4600 gl., imenja pa ima le 8625 gl.; koliko bode dobil vsak upnik pri delitvi in koliko procentov bode vsak izgubil?

8. 67270 gl. treba razdeliti med pet oseb v razmerji števil ulomki; koliko dobode vsaka?

9. Nekdo zapusti 15845 gl. imenja, katere je med njegove tri dediče takó razdeliti, da dobi A 2krat toliko kakor B, in B 3krat toliko kakor C; koliko dobi vsak dedič?

10. Med tri osebe treba 9150 gl. takó razdeliti, da dobi A tolikokrat po 5 gl. kakor B po 3 gl., in C tolikokrat po 3 gl. kakor B po 4 gl., koliko dobode vsaka oseba?

11. Trije trgovci kupijo neko blago; pri prodaji imajo 15 % dobička in tega razdelé med seboj po razmerji svojih vlog. Koliko je vsak izmed njih vložil, ako ima A 810 gl., B 350 gl. in C 220 gl. dobička?

12. Trije trgovci so zložili 16000 gl., ter nekaj časa skupno trgovali. Ko so kupčijo razdrli, dobil je A 5400 gl., B 6200 gl., C 8400 gl.; koliko je bil vsak vložil in koliko % je bilo dobička?

13. Tri osebe so skupno trgovale. A je vložil 1500 gl. na 1 leto, B 1200 gl. na 6 mesecev, C 1000 gl. na 8 mesecev, dobička imajo 960 gl.; koliko tega dobička dobode vsak?

14. Tri občine dobé za neko delo 500 gl. Iz občine A je delalo 11 delavcev 10 dnij po 9 ur na dan; iz občine B 9 delavcev 9 dnij po 10 ur na dan, iz občine C 15 delavcev 5 dnij po 6 ur na dan; koliko plačila dobode vsaka občina?

15. A začne trgovati početkom leta z 8000 gl. kapitala; dva meseca pozneje pristopi B s 5000 gl., še dva meseca pozneje C s 3000 gl. Koncem leta imajo 1059 gl. dobička; koliko tega dobička dobode vsak?

16. Za neko podjetje se je potrebovalo 9000 gl.; A je dal 1/3 na 10 mesecev, B 4/9 na 8 mesecev, C pa ostali del vsote na 6 mesecev; računski sklep je izkazal 629 gl. dobička; kakó se je moral ta razdeliti?

17. A. začne trgovati dne 1. januvarja z 8000 gl. kapitala; dne 1. maja pristopi B s 5000 gl., in dne 1. julija C s 6000 gl.; koncem decembra je bilo 1180 gl. 33 kr. dobička. Koliko tega dobička dobode vsak družabnik?

Naloge.

l.* Nekdo zmeša 1 l vina po 36 kr. z 1 l po 40 kr. in 1 l po 56 kr.; koliko velja 1 l zmesi?

2.* Nekega dne je kazal toplomer zjutraj 16 °, o poludne 22 °, zvečer 13 °; kolika je bila poprečna toplina onega dneva?

3. Neko posestvo je dalo čistih dohodkov v 5 letih zaporedoma 2565 gl. 24 kr., 2844 gl. 64 kr., 2085 gl. 38 kr., 2633 gl., 2408 gl. 84 kr.; koliko poprek na leto?

4.* Koliko je vreden 1 l zmesi, ako zmešaš 5 l vina po 34 kr. s 4 l vina po 40 kr. in 1 l vode?

Pri vodi in bakru jemljemo v poštev le množino, vrednost pa smatramo kot ničli jednako, kadar nam služita te dve tvarini v to, da zmanjšamo dobroto vinu ali kateri dragi kovini.

5. Krčmar zmeša 4 hl vina po 24 gl., 3 hl po 28 gl. in 5 hl po 30 gl.; koliko je vreden 1 hl zmesi?

6. Nekdo zmeša 39 l špirita po 40 stopinj s 26 l po 30 stopinj; koliko stopinj bode imela zmes?

7. Nekdo je izposodil 3600 gl. po 4 3/4 %, 4500 gl. po 5 % in 1900 gl. po 6 %, po koliko % bi moral izposoditi vsoto vseh teh treh kapitalov, da bi dobil iste obresti?

8. Trgovec ima dvoj riž, kg po 35 kr. in po 28 kr.; ta dvoj riž hoče takó zmešati, da mu bode môči kg zmesi po 32 kr. prodajati; v katerem razmerji mora oboj riž, zmešati?

9. Iz srebra po 800 in po 600 tisočnin čistine zliti (legovati) hoče srebrar srebro po 720 tisočnin čistine; v katerem razmerji mora oboje srebro zliti?

10. Koliko l vina po 36 kr. in koliko po 56 kr. moraš zmešati, ako hočeš dobiti 100 l zmesi po 42 kr.?

11. Čisto srebro (po 1000 tisočnin čistine) in srebro po 640 tisočnin čistine treba takó zlili, da bode imela zlitina po 750 tisočnin čistine, koliko vsacega srebra treba vzeti za 24 kg zlitine?

12. Zlatar potrebuje za neko delo kg zlata po 700 tisočnin čistine in to si hoče zliti iz zlata po 650 in po 900 tisočnin čistine, koliko mora vsacega v ta namen vzeti?

13. Koliko kg po 18 kr. treba dodati k 564 kg po 32 kr., da bode veljal kg zmesi 24 kr.?

14. Koliko bakra treba dodati k 3 kg zlata po 850 tisočnin čistine, da bode imela zlitina po 700 tisočnin čistine?

15. Srebrar potrebuje srebra po 650 tisočnin čistine; ima pa le čisto srebro in tako, ki ima po 720 tisočnin čistine, tedaj mora bakra dodati; v katerem razmerji bode zlil te tri sestavine?

16. Nekdo hoče dobiti 4 kg zlata po 750 tisočnin čistine; koliko zlata po 900, 720 in 640 tisočnin čistine treba mu v ta namen zliti?

17. Trgovec ima petero blago, kg po 60 kr., po 68 kr., po 72 kr., po 75 kr., po 86 kr.; na koliko načinov zmeša lahko to petero blago takó, da bode veljal kg zmesi 70 kr.?

18. Iz špirita po 62, 40, 35 stopinj in vode treba namešati 94 l špirita po 50 stopinj, koliko treba vzeti vsacega?

Naloge.

1. Nekdo kupi v Hamburgu 3751 fnt. kave za 5125 mark; koliko gl. a. v. velja 1 kg, ako sta 2 hamb. fnt. = 1 kg, in je 100 mark = 57 gl. a. v.?

2. Koliko londonskih cnt. je 2534 kg, ako je 100 lond. fnt. = 45 9/25 kg in ima 1 lond. cnt 112 lond. fnt.?

3. Vzemimo, da tehta 5 m dolga železnocestna šina 125 1/2 kg, in da velja v Belgiji 100 kg šin 27 6/10 franka; koliko gl. a. v. stanejo šine, katerih je treba za 1 km? (100 frankov = 46 gl. a. v.)

4. Avstrijski goldinar ima 900 tisočnin čistega srebra; koliko g tehta tak goldinar, ako je v 45 goldinarjih 500 g čistega srebra?

5. Koliko velja blago, ki ima 455 kg nečiste teže, ako se plača po odbitku 10 % tare kg čiste teže po 62 kr.?

6. Trgovec kupi 4 kose sukna, kos po 30 m, za 512 gl.; po čem mora m prodati, ako hoče imeti 15 % dobička, tj., ako hoče za vsacih 100 gl., katere je pri nakupu izdal, 115 gl. pri prodaji iztržiti?

7. Nekdo je kupil 923 kg nekega blaga za 876 gl., potem pa je po 100 kg za 87 gl. prodal; ali je pri tej kupčiji kaj dobil ali izgubil, in to koliko procentov?

Verigo začni: x gl. pri prodaji dá 100 gl. pri nakupu (izdanih), ako i. t. d.

8. Ako se kupi hl vina po 24 gl., l pa po 32 kr. proda, koliko % je dobička?

9. Ako kupi kdo 100 kg blaga za 87 gl., povrh pa še 2 % provizije plača, po čem mora kg prodati, ako hoče imeti 12 1/2 % dobička?

10. Neki stroj velja v Angleški 875 funtov sterl.; stroškov je v Londonu 8 %, prevoznih in drugih stroškov do Dunaja pa 25 % tega, kar stroj velja; koliko gl. a. v. stane stroj na Dunaji, ako je 10 funt. sterl. = 118 gl. a. v.?

11. V Smirni velja kantaro smokev 272 piastrov, stroški pri nakupu iznašajo ondi 5 %, provizija 2 %, vozarina do Dunaja, carina in drugi stroški pa 24 %; po čem pride v a. v. kg smokev na Dunaji, ako je 1 kantaro = 56 9/25 kg in 100 piastrov = 8.5 gl. a. v.?

Kakó je izračunavati čistino, zrno in robelj.

§ 160.

a) Čistino najdeš, ako razdeliš zrno z robljem. N. pr. Nove avstr. dvajsetice tehtajo po 2 2/3 g ter imajo po 1 1/2 g čistega srebra; kolika je njih čistina?

Čistina enačba.

Nove dvajsetice imajo tedaj 500 tisočnin čistine.

b) Zrno je jednako produktu iz roblja in čistine. N. pr. Od 1 kg zlata, imajočega 9/10 čistine, kuje se po 155 zlatníkov po osem goldinarjev; koliko čistega zlata je v vsakem takem zlatníku?

Robelj = 1000/155 g.
Zrno enačba.

c) Robelj je jednak zrnu, razdeljenemu s čistino. N. pr. Koliko tehta 1 ces. zlatník, ker je 23 2/3 karaten ter ima 3.4421 g čistega zlata?

Čistina enačba.
Robelj enačba.

Kakó je izračunavati novcem notranjo vrednost.

§ 161.

Po različnosti novčne mere je môči take naloge tudi različno razreševati. Ako treba določiti novcu vrednost v avstr. v., ondaj je najkrajše izračunati najprej vrednost jednemu gramu čistega srebra

ali zlata v avstr. v. ter to vrednost pomnožiti z njega zrnom, izraženim v gramih. N. pr.

1.) Koliko je vreden 1 g čistega srebra, ker je v 45 gl. a. v. 500 g čistega srebra?

1 g čistega srebra je tedaj 9 kr. vreden.

2.) Koliko gl. a. v. je vrednih 100 frankov?

1 frank ima 4.5 g čistega srebra,
100 frankov ima 450 čistega srebra,

enačba.

3.) Koliko je vreden 1 g čistega zlata, ako je razmerje med vrednostjo zlata in srebra 15 1/2 : 1?

enačba = 1.395 gl. a. v. v srebru.

4.) Koliko avstr. srebernih goldinarjev je vreden zlatník po osem goldinarjev, ker ima njega zrno 5.80645 g?

1.395 gl. x 5.80645 = 8.1 gl. a. v. v srebru.

Prav takó kakor pri zlatih in srebernih novcih je računati čistino in notranjo vrednost tudi pri nekovanem zlatu in srebru; pomniti je le, da nam rabita tu izraza nečista teža in čista teža (Rauhgewicht, Feingewicht) za robelj in zrno.

Kakó je izračunavati novcem kurzno vrednost.

§ 162.

Na dunajski borzi se zabeležuje kurz posamičnih novcev (per Stück) in to v bankovcih (Bankvaluta); le za srebro (sreberne goldinarje ali kupone sreberne rente) je dan kurz v procentih. Vrednost se izračuna potem oziroma s pomočjo množitve ali procentnega računa. N. pr.

1.) Kurz ces. zlatníkom je 5 gl. 35 kr.; koliko velja 31 tacih zlatníkov?

enačba gl. v bankovcih.

2.) Koliko je vrednih 658 gl. srebra v papirnatem denarji, ako je 3 % ažije?

enačba gl. v papirnatem denarji.

Naloge.

l.* Nove avstrijske dvajsetice imajo po 500, desetice po 400, petice po 350 tisočnin čistine; izrazi čistino teh novcev z najmanjšimi ulomki.

2. Izračunaj zrno, robelj in notranjo vrednost v prejšnji nalogi omenjenih novcev, ako se jih kuje od 1 kg čistega srebra oziroma po 750, 1500, 3000.

3.* Koliko čistino ima sreberna kepa, katera tehta 640 g ter ima 480 g čistega srebra?

4. Koliko tisočnin primesi je v zlitini, v kateri je 11/12 čistega srebra?

5. Ruski sreberni rubelj tehta 20.7315 g ter ima 17.9961 g čistega srebra; kolika je a) njegova čistina v tisočninah, b) njega notranja vrednost v gl. a. v. in c) koliko rubljev se kuje od 1 kg čistega srebra?

6. Od 1 kg srebra, imajočega 0.945 čistine, kuje se 100 holandskih goldinarjev; izračunaj hol. goldinarju zrno in notranjo vrednost v gl. a. v.

7. Koliko srebra in koliko bakra je v sreberni šibiki, katera tehta 3 2/5 kg in ima 0.520 čistine?

8. Od 1 kolonjske marke 23 2/3 karatnega zlata se kuje po 67 ces. zlatníkov; izračunaj ces. zlatníku zrno in notranjo vrednost v a. v.

9. V 45 gl. a. v. je 500 g čistega srebra, njih čistina iznaša 9/10; koliko tehta 100 srebernjakov po goldinarji?

10. Od 500 g čistega zlata se kuje po 69 3/4 nem. zlatníkov po 20 mark; njih čistina iznaša 9/10 izračunaj zrno, robelj in notranjo vrednost v a. v. jednega tacega zlatníka.

11. V 20 gl. k. v. je 233.87 g čistega srebra, koliko gl. a. v. je tedaj 1 gl. k. v. vreden?

12. Nekdo zamenja 715 avstr, zlatníkov po osem goldinarjev za angleške sovereigne, koliko bode dobil sovereignov?

13. Na dunajski borzi je bil nekega dne

kurz ces zlatnikom
kurz ces zlatnikom
kurz angl. sovereignom
števila
v bankovcih

koliko je veljalo 158 vsacih tacih zlatníkov?

14. Ko je imelo srebro 25 % ažije, plačalo se je za dun. cent (56.006 kg) cukra 32 gl. v bankovcih, pozneje, ko je bilo le 2 % ažije, za kg 56 kr.; kedaj je bil cuker primerno dražji?

O meničnem diskontu.

§ 165.

Menice, glaseče se na veljavo tistega mesta, kjer so se izdale in ravno tam izplačne, zovejo se mestne menice (Platzwechsel). Ako se mestna menica pred nje dospetkom izplača, dovoljuje se dolžniku zarad tega, ker prej plača, nego bi moral, primeren popust, odbitek ali diskont (Discont, Escompt) imenovan. Menico pred nje dospetkom proti primernemu diskontu prodati ali kupiti, pravi se, menico diskontovati (discontieren).

Menični diskont izražamo v procentih za 1 leto in trebalo bi ga prav za prav nad sto računati; v resnici pa se računa vselej po pripravnejšem procentnem računu od sto, ker gre tu le za kratke roke, za te je pa razloček med jednim in drugim rezultatom neznaten. Menični diskont se računa tedaj prav takó, kakor obresti za določeno število dnij, namreč za čas od dne, katerega se diskontuje ali pa dan dospetka. Meseci se računajo po toliko dnij, kolikor jih pratiki res imajo, leto pa po 360 dnij. N. pr.

Menica za 960 gl., izplačna 31 dnij po pokazu, ter vzprejeta dne 18. junija, diskontuje se dne 27. junija po 4 %; koliko se dobi zanjo?

Vzprejela se je dne 18. junija.
Dospela bode dne 19. julija.
Proda se dne 27. junija
Junija 3 dni
Julija 19 dnij
22 dnij.

Menični iznesek … 960 gl.
4 % disk. za 22 dnij 2.35 gl.
gotova vrednost … 957.65 gl.

Kakó je izračunavati menice na tuja mesta.

§ 166.

Menice, glaseče se na tuja mesta in navadno tudi na tujo veljavo, zovejo se tuje (inozemske) menice ali devize (ausländische Wechsel, Devisen). Pri nakupu ali prodaji tujih menic treba s pomočjo danega meničnega kurza (Wechselcours) preračunati tuji denar (menično vrednost, Wechselvaluta) na svoj domači denar, ali pa obratno. Takovo preračunavanje zovemo menično redukcijo (Wechselreduction).

Menični kurz je zavisen od notranje vrednosti tujega denarja, od časa, ki ga ima menica še do dospetka, dalje ali menica ponuja ali se po njej poprašuje. Pri meničnem kurzu treba vselej na dvojno veljavo gledati, na veljavo domačega in tujega mesta, jedna je nepremenljiva, druga premenljiva. Na avstrijskih borzah velja zmerom 100 (za London 10) jednot tujega denarja kot nepremenljiva valuta, in zabeleženi kurz kaže, koliko gl. a. v. v bankovcih se zanje dobi ali plača. Ako je n. pr. kurz v Pariz 44, pravi se to: za 100 frankov treba plačati 44 gl. a. v. v bankovcih.

Menice se preračunavajo s pomočjo procentnega ali sklepovnega računa. N. pr.

1.) Dunajsk trgovec ima v Amsterdamu 2360 hol. gl. plačati; mesto denarja pošlje menico; koliko mora zanjo plačati, ako je kurz v Amsterdam 97.50?

2.) Dunajčan ima v Parizu za svoj račun 2485 gl. a. v. terjati; za koliko frankov bode menico izdal, ako je kurz v Pariz 46?

Naloge.

1. Menica za 1249.13 gl., izplačna dne 15. junija, se proda dne 8. maja; diskonta se računa 4 1/2 %; koliko se dobi zanjo?

2. Izračunaj diskont in gotovo vrednost téh-le menic:

Menični iznesek

diskonta

3. Sredi avgusta izplačna menica za 849 gl. se diskontuje dne 26. junija po 6 1/2 %; koliko je menica ta dan vredna?

4. Menica za 3180 gl., izplačna 14 dnij po pokazu, vzprejeta dne 20. novembra, diskontuje se dne 23. novembra; kolika je nje gotova vrednost, ako se računa 4 1/2 % diskonta?

5. Menica za 3048.72 gl., izdana dne 13. maja, izplačna 2 meseca a dato, diskontuje se dne 18. junija; koliko treba zanjo plačati, ako se računa 5 1/2 % diskonta in 1/3 % provizije?

Provizijo računaj od meničnega izneska.

6. Dne 24. aprila diskontuje avstro-ogerska banka té-le menice po 5 %:

za 3128 gl. na J. Kovača, dne 20. maja;
za 1073 gl. na F. Lavriča, zadnjega maja;
za 536 gl. na A. Bonača, 31. dnij po pokazu, vzprej. dne 8. aprila;
za 2895 gl. na L. Purgaja, od dne 28. marcija, 2 meseca a dato.

Koliko mora banka za vse te menice izplačati?

7. Dunajsk trgovec ima v Augsburgu 2915 drž. mark terjati; to terjatev poravna z menico, katero izda na svojega dolžnika ter po 57.6 proda; koliko dobi za to menico?

8. Trgovec v Marseille-u ima od Dunajčana 5682 frankov 56 centimov terjati; koliko je vredna ta terjatev v avstr. v., če je 100 frankov = 46.75 gl. a. v.?

9. Koliko je na Dunaji vredna menica v Berolin za a) 738 mark po 56.8, b) 1335 mark po 56.92, c) 3085 mark 48 pfenigov po 56.85?

10. Dunaj kupi 3708 frankov v Pariz po 46.80, koliko stane ta deviza, ako treba 1/2 ‰ senzarije plačati?

11. Dunaj kupi po naročilu 7123 vlaških piastrov v devizah v Bukarešt po 17.15 ter računa 1/4 % provizije in 3/4 ‰ senzarije; kateri iznesek v a. v. bode Dunaj naročevalčevemu računu pripisal?

12. A kupi na Dunaji menice v Hamburg:

za 2032 mark, diskonta za 126 dnij,
za 1760 mark, diskonta za 80 dnij,
za 3188 mark, diskonta za 52 dnij.

Koliko mora za vse plačati, ako je kurz v Hamburg 56 3/4 in se računa diskonta po 4 1/2 %?

13. V Amsterdam se je poslalo za 2227.75 gl. a. v. 2345 hol. gl.; po katerem kurzu odposlal je Dunaj svojo menico?

14. Kolik je kurz v Bruselj, ako se pri 1/2 % provizije za 5248 frankov 2241 gl. 55 kr. a. v. dobi?

Naloge.

l.* Koliko velja 9 sreček iz leta 1864. po 174?

2.* Koliko velja

6 kreditnih sreček po 178,
12 Palffy-jevih sreček po 42 in
15 sreček Rudolfove ustanove po 19?

3. Koliko je vrednih dne 18. avgusta 2500 gl. jednotnega državnega dolga v bankovcih s kuponi od dne 1. maja po 81.5? (Obresti po 4 1/5 %.)

4. Koliko treba plačati dne 9. septembra za 6 celih sreček iz leta 1860. po 136.50? (Nominalna vrednost po 500 gl., 5% obresti od dne 1. maja, dohodarine 20 %.)

5. Nekdo kupi dne 1. maja:

9 akcij Rudolfove železnice po 184.75 in
12 akcij erdeljske železnice po 182.

Koliko mora za vse plačati? (Nominalna vrednost po 200 gl., 5% obresti od dne 1. januvarja.)

6. Nekdo proda dne 6. decembra 9 sreček iz leta 1854. po 128.5; koliko dobi zanje? (Nominalna vrednost po 250 gl. k. v., 4% obresti od dne 1. aprila, dohodarine 20 %.)

7. A proda dne 26. februvarja:

a) 18 prioritetnih obligacij erdeljske železnice po 99 (nominalna vrednost po 200 gl., 5% obresti od dne 1. oktobra);

b) 2400 gl. k. v. štajerskih zemljiščnih odveznih obligacij po 104 (5% obresti od dne 1. novembra, dohodarine 10 %); koliko dobi za vse?

8. A kupi dne 4. oktobra 6000 gl. zastavnih pisem štajerskega hranilnega društva po 101.50; koliko mora zanje plačati, ako se računa 1/2 ‰ senzarije? (5 1/2% obresti od dne 1. julija.)

9. Koliko treba plačati dne 26. aprila za a) 2 akciji Ferdinandove sev. železnice po 2465 (nominalna vrednost po 1000 gl. k. v.), b) 6 akcij Elizabetine železnice po 233 (nominalna vrednost po 200 gl. k. v.), ako treba povrniti nepotegnene 5% obresti od dne 1. januvarja naprej, in se računa 1/2 ‰ senzarije?

10. Nekdo proda na Dunaji dne 26. novembra:

4 akcije avstro-ogerske banke po 862 (nominalna vrednost po 600 gl., 5% obresti od dne 1. julija),

8 sreček iz leta 1860 po 136.50 (nominalna vrednost po 500 gl., 5% obresti od dne 1. nov., dohodarine 20 %),

3500 gl. zastavnih pisem avstr. zemljiščnega kreditnega zavoda po 117.5 (5% obresti od dne 1. novembra),

koliko dobi za vse, ako se računa 1/2 ‰ senzarije in še 1/3 % provizije?

Izreki o potencah.

§ 170.

1.) Potence istih podlog pomnožimo, ako vzmnožimo skupno podlogo z vsoto eksponentov.

enačbe.

Dokaz.

enačbe.

2.) Ta izrek obrnivši, dobimo

am + n = am.an,

t. j.: Število vzmnožimo z vsoto, ako je vzmnožimo z vsakim sumandom ter dobljene potence drugo z drugo pomnožimo.

§ 171.

1.) Potence istih podlog razdelimo, ako skupno podlogo vzmnožimo z diferenco med dividendovim in divizorjevim eksponentom.

Dokaz. enačbe.

2.) Kot obrat dobimo

enačba,

t. j.: Število vzmnožimo z diferenco, ako je z minuendom in subtrahendom vzmnožimo ter prvo potenco z drugo razdelimo.

§ 172.

1.) Potence istih eksponentov pomnožimo, ako produkt njih podlog s skupnim eksponentom vzmnožimo.

Dokaz. enačbe.

2.) Kot obrat dobimo

enačba,

t. j.: Produkt vzmnožimo s številom, ako vsak faktor z njim vzmnožimo.

§ 173.

1.) Potence istih eksponentov razdelimo, ako vzmnožimo kvocijent njih podlog s skupnim eksponentom.

enačba.

Dokaz.

enačba.

2.) Ako ta izrek obrnemo, dobimo

enačba,

t. j.: Kvocijent (ulomek) vzmnožimo s številom, ako dividend in divizor (števec in imenovalec) z njim vzmnožimo.

§ 174.

1.) Potenco vzmnožimo s številom, ako podlogo s produktom obeh eksponentov vzmnožimo.

enačba.

Dokaz.

enačba.

2.) Obrat: enačba,

tj.: Število vzmnožimo s produktom, ako je vzmnožimo z jednim faktorjem in dobljeno potenco še z druzim faktorjem.

3.) Ako treba potenco zopet vzmnožiti, ondaj smemo eksponenta med seboj zamenjati.

enačba.

Dokaz. Vsled 1.) je

enačba;
ker pa je mn = nm (§ 34.), je tudi amn = anm, tedaj
(am)n = (an)m.

Kakšne predznake imajo potence.

§ 175.

1.) Pozitivna podloga dá, s katerim koli celim številom vzmnožena, vsikdar pozitivno potenco.

Dokaz. Po § 68., 2., a) je

enačbe,

i. t. d.; v obče enačba.

2.) Negativna podloga dá, s sodim številom vzmnožena, pozitivno, in z lihim številom vzmnožena, negativno potenco.

Dokaz. Po § 68., 2., b) je

enačba,

i. t. d.; v obče enačba.

O potencah z negativnimi eksponenti.

§ 176.

Jednačba am : an = am – n uči, kakó je deliti potence iste podloge (§ 171., 1.), a uporabljali smo jo do sedaj le, ako je bil m ≥ n. Ako jo uporabljamo tudi tedaj, kadar je m < n, in sicer m + p = n, dobimo potenco z negativnim eksponentom; kajti

enačba.

Da bode tedaj zakon, katerega ona jednačba izražuje, obče veljaven, treba tudi potencam z negativnimi eksponenti tak pomen dati, da velja prvotni pojem o potenci tudi zanje. Ta pomen pa dobimo, ako damo kvocijentu, katerega a – p izražuje, drugačno obliko. Dobimo namreč

enačba.

Tedaj enačba;

t. j.: Potenca z negativnim eksponentom je jednaka ulomku, čegar števec je 1, imenovalec pa ista potenca s pozitivnim eksponentom.

Da dokažemo ta izrek za posebnoštevilne eksponente, določimo pr. a a2 : a5. Tu dobimo

enačba,

tedaj enačba.

Dostavek. Iz a – p = 1/ap dobimo ap.a – p = 1 tedaj ap = 1/a – p. Vsako potenco, katera je kot faktor v števci, prenesemo torej lahko kot faktor v imenovalec ulomkov, in obratno; v ta namen treba le eksponentu predznak v nasprotnega izpremeniti.

§ 177.

Vsi izreki, katere smo dokazali o potencah s pozitivnimi eksponenti, veljajo tudi o potencah z negativnimi eksponenti.

Kajti

enačbe; i. t. d.

Kakó je vzmnoževati števila na kvadrat ali drugo potenco.

§ 178.

Ako pomnožimo število samo s seboj, dobimo njega kvadrat. Ako hočemo torej kvadrat binoma a + b izračunati, treba ga le z a + b pomnožiti, a potem dobimo

enačba,

t. j.: Kvadrat binoma je jednak vsoti iz kvadrata prvega člena, dvojnega produkta obeh členov in kvadrata druzega člena.

Ako bi hoteli trinom a + b + c na kvadrat vzmnožiti, treba ga le za binom smatrati ter v ta namen a + b za prvi, in c za drugi člen vzeti.; tedaj je

enačba.

Prav takó dobimo

enačba,

i. t. d.

Iz tega je razvidno, da velja za vzmnoževanje polinoma na kvadrat tá-le tvorbni zakon:

1.) Prvi člen danega izraza dá sam svoj kvadrat.

2.) Vsak naslednji člen dá po dve sestavini, namreč dvojni produkt iz vsote vseh prejšnjih členov in tega člena, ter sam svoj kvadrat.

3.) Vsota vseh teh sestavin je iskani kvadrat.

Primer.

enačba.

Dostavek. Sestavini, kateri dá vsak člen danega polinoma v kvadratu, môči je tudi v jeden sam člen združiti. V ta namen treba le ta člen k dvojni vsoti vseh prejšnjih členov prišteti ter dobljeno vsoto še s tem členom pomnožiti; kajti

enačba, i. t. d.

§179.

Ker je môči vsako večštevilčno dekadno število smatrati za polinom, urejen po padajočih potencah števila 10, zato velja pravilo, kakó je sestavljene algebrajske izraze na kvadrat vzmnoževati, tudi za dekadna števila.

Recimo, da nam je izračunati n. pr. kvadrat števila 3417. Tu dobimo

ali, ako sestavine drugo pod drugo zapišemo ter res izračunamo

enačba,

ali, ako ničle izpustimo

enačba.

Za vzmnoževanje dekadnega števila na kvadrat velja tedaj tá-le pravilo:

1.) Prva ali najvišja številka danega števila dá sama svoj kvadrat.

2.) Vsaka naslednja številka dá v kvadratu dve sestavini: dvojno pred njo stoječe število, pomnoženo s to številko in sama svoj kvadrat.

3.) Te sestavine zapišemo takó drugo pod drugo, da pride vsaka naslednja za jedno mesto dalje proti desni, ter jih potem seštejemo,

kakor stojé; vsota je iskani kvadrat.

N. pr.

Kvadrat dekadnega števila ima ali dvakrat tolika številk kakor dano število, ali jedno menj; kajti prva številka dá v kvadratu jedno ali dve mesti, vsaka naslednja pa po dve mesti. Ako razstavimo tedaj kvadrat od desne proti levi na razdelke po dve številki – prvi razdelek na levi more imeti tudi le jedno številko – dobimo prav toliko razdelkov, kolikor ima dano število številk.

Dostavek. 1.) Iz enačba je razvidno, da je računati kvadrat decimalnega ulomka prav takó kakor kvadrat celega dekadnega števila, le treba v kvadratu števca dvakrat toliko decimalk odrezati, kolikor jih ima dani decimalni ulomek. Število decimalk v kvadratu decimalnega ulomka je tedaj vsikdar sodo.

2.) Sestavini, kateri dá druga in vsaka naslednja številka danega števila v kvadratu, je môči v jedno samo združiti. V ta namen treba le k dvojnemu pred to številko stoječemu številu to novo številko pripisati in na ta način dobljeno število z ravno tisto številko pomnožiti, a vsak naslednji produkt je treba za dve mesti dalje proti desni pomakniti; v obče je namreč

enačba.

Ako izračunamo zadnji primer na ta način, dobimo

enačba.

Kakó je števila vzmnoževati na kub ali tretjo potenco.

§ 180.

Ako pomnožimo kvadrat katerega koli števila zopet s tem številom, dobimo njega tretjo potenco. Tedaj je

enačba,

t. j.: Tretja potenca (kub) binoma je jednaka vsoti iz tretje potence prvega člena, trojnega kvadrata prvega pomnoženega z druzim členom, trojnega prvega člena, pomnoženega s kvadratom druzega člena in tretje potence druzega člena.

Da dobimo, uporabljajoč ta izrek, tretjo potenco trinoma a + b + c, treba le a + b za jeden sam člen smatrati; tedaj

enačba.

In prav takó

enačba,

i. t. d.

Odtod izvira, da je polinom takó-le na tretjo potenco vzmnoževati:

1.) Prvi polinomov člen dá sam svoj kub.

2.) Vsak naslednji člen dá tri sestavine, namreč trojni kvadrat iz vsote vseh prejšnjih členov, pomnožen s tem členom, trojno vsoto

vseh prejšnjih členov, pomnoženo s kvadratom tega člena in kub tega člena.

3.) Vsota vseh teh sestavin je zahtevana tretja potenca.

Primer.

enačba.

§ 181.

Prej navedeni tvorbni zakon za kub algebrajskega polinoma uporabimo lahko tudi za kub dekadnega števila. Ako nam je n. pr. izračunati kub števila 4213, dobimo, ako pišemo sestavine takój drugo pod drugo:

ali, ako ničle izpustimo

enačba.

Iz tega izvira, da je tretjo potenco dekadnega števila takó-le računati:

1.) Najprej vzmnoži prvo ali najvišjo številko danega števila na tretjo potenco.

2.) Za vsako naslednjo številko dohodi tri sestavine: trojni kvadrat pred njo stoječega števila, pomnožen s to številko, trojno pred njo stoječe število, pomnoženo s kvadratom te številke in tretjo potenco te številke.

3.) Te sestavine zapiši takó drugo pod drugo, da pride vsaka naslednja za jedno mesto dalje proti desni, potem pa jih seštej, kakor stojé.

N. pr.

Tretja potenca dekadnega števila ima trikrat toliko številk kakor dano število, ali pa za dve ali tudi za jedno menj; kajti prva številka danega števila dá v tretji potenci jedno, dve ali tri mesta, vsaka naslednja pa vsikdar po tri mesta. Ako razstavimo tedaj tretjo potenco od desne proti levi na razdelke po tri mesta – prvi razdelek na levi ima lahko dve ali tudi le jedno številko – dobimo prav toliko razdelkov, kolikor ima dano število številk.

Dostavek. Iz enačba izvira, da treba pri decimalnih ulomkih v tretji potenci števca 3krat toliko decimalk odrezati, kolikor jih ima dani decimalni ulomek.

Naloge.

12. Izračunaj

Izreki o korenih.

184.

1.) Produkt razkorenimo, ako vsak faktor razkorenimo.

enačba.

Dokaz. Ako je enačba pravi koren, dati mora, s korenjim eksponentom m vzmnožen, radikand ab. In res je

enačba (183., 1.)

Uporabljajoč ta izrek je môči radikand deloma razkoreniti, ako ima kak faktor, ki se dá z dotičnim številom razkoreniti. N. pr.

enačba.

Na ta način je môči dostikrat korene, imajoče isti eksponent, a različne radikande, na take pretvoriti, ki imajo isti radikand, ter potem skrčiti. N. pr.

enačbe.

2.) Ako prejšnji izrek obrnemo, dobimo

enačba,

t. j.: Korene istih korenjih eksponentov pomnožimo, ako produkt radikandov s skupnim korenjim eksponentom razkorenimo.

Uporabljajoč ta izrek in pa § 183., 2., moremo obratno vsak korenov faktor pod korenj znak spraviti; v ta namen treba le dotični faktor s korenjim eksponentom vzmnožiti ter to potenco z radikandom pomnožiti. N. pr.

enačbe.

§ 185.

1.) Kvocijent (ulomek) razkorenimo, ako dividend in divizor (števec in imenovalec) razkorenimo.

Dokaz. enačba

2.) Obrat:

enačba,

t. j.: Korene istih korenjih eksponentov razdelimo, ako kvocijent iz radikandov s skupnim korenjim eksponentom razkorenimo.

§ 186.

1.) Potenco razkorenimo, ako podlogo razkorenimo, ali pa, ako potenčni eksponent razdelimo s korenjim eksponentom.

enačbe.

Dokaz.

enačbe.

2.) Jednačbo enačba obrnivši, dobimo

enačba,

t. j.: Koren vzmnožimo s številom, ako radikand z njim vzmnožimo.

Izvod. Kadar je število vzmnožiti in razkoreniti, izvrši se to lahko v katerem koli redu.

3.) Ako obrnemo jednačbo enačba, dobimo

enačba,

t. j.: Število vzmnožimo z ulomkom, ako je s števcem vzmnožimo in z imenovalcem razkorenimo.

Potenca z ulomljenim eksponentom pomenja tedaj toliki koren, kakor imenovalec kaže, iz tolike podlogine potence kakor števec kaže.

Dostavek. Prvotni pojem o potenci velja tudi za potence z ulomljenimi eksponenti. Kajti po prejšnjem je

enačba (mkrat).

§ 187.

Koren razkorenimo s številom, ako z njim radikand razkorenimo, ali pa korenj eksponent pomnožimo.

enačbe.

Dokaz.

enačbe.

Izvod. Ako treba število z dvema številoma razkoreniti, razkorenimo je lahko ali z vsakim posamič v katerem koli redu, ali pa s produktom obeh ob jednem.

§ 188.

Koren iz katere koli potence ostane neizpremenjen, ako korenj in potenčni eksponent z istim številom pomnožimo ali razdelimo.

Kajti

enačbi.

Uporabljajoč prvi del tega izreka, pretvorimo lahko vsakeršne korene na skupen korenj eksponent.

Recimo, da nam je pretvoriti n. pr. korene koreni na skupen eksponent. Najmanjši skupni mnogokratnik danih korenjih eksponentov 2, 3, 5, 10 je 30; tedaj dobimo

enačbe.

Vsled tega je môči tudi korene, imajoče različne eksponente, množiti in deliti (§ 184., 2., in § 183., 2.); v ta namen treba jih le prej na skupen korenj eksponent pretvoriti. N. pr.

enačbe.

Uporabljajoč drugi del onega izreka, lahko koren okrajšamo, ako imata njega korenj in potenčni eksponent skupno mero. N. pr.

enačbi.

Kakšne predznake imajo koreni.

§ 189.

1.) Pozitivno število, razkorenjeno s katerim koli lihim številom, dá pozitiven koren.

enačba.

Kajti enačba.

V obče: enačba.

2.) Negativno število, razkorenjeno s katerim koli lihim številom, dá negativen koren.

enačba.

Kajti enačba.

V obče: enačba.

3.) Pozitivno število, razkorenjeno s katerim koli sodim številom, dá dve jednaki, a različno zaznamenovani števili.

enačba.

Kajti enačba.

V obče: enačba.

4.) Sedaj treba si ogledati le še koren. Ker ne dá niti pozitivno niti negativno število, s sodim številom vzmnoženo, negativnega števila, zato pomenja koren število, katerega ne nahajamo med onimi, s katerimi smo se do sedaj pečali. To novo število imenujemo imaginarno število (imaginäre Zahl) v nasprotje vsem drugim številom, katera zovemo realna (reell) števila.

N. pr. koren ni niti = + 2, niti = – 2, kajti (+ 2)2 = + 4 in prav takó tudi (– 2)2 = + 4.

Sod koren iz negativnega radikanda je imaginarno število.

Da si tudi imaginarno število koren v aritmetiki nič druzega ne pomenja nego število, katero dá, 2nkrat kot faktor vzeto, – a, vender ne kaže je v matematiki prezirati, kajti že v aritmetiki je pri višjih algebrajskih računih dostikrat velike koristi, v geometriji pa ima prav določen pomen. Ako dobimo v čisto aritmetični nalogi, v kateri se more le po realnem številu vprašati, imaginarno število za rezultat, ondaj je to znamenje, da naloge pod danimi pogoji ni mogoče razrešiti.

O iracijonalnih številih.

§ 190.

Pojasnjujoč koren v § 182., smo vzeli, da je radikand a ntna potenca katerega koli celega ali ulomljenega števila. Sedaj si hočemo še slučaj ogledati, kadar ta pogoj ne velja.

Ako celo število a ni ntna potenca katerega koli celega števila, ondaj ne more biti koren niti celo število niti ulomek; vender moremo koren približno z ulomkom izraziti, in to takó natančno, kakor le hočemo.

Dokaz. a) Ako izračunamo po vrsti ntne potence celih števil, namreč

ne

in ne najdemo števila a med temi potencami, ondaj mora biti med dvema sosednima potencama, n. pr. med pn in (p + 1)n, tedaj koren med p in p + 1; celo število torej koren ni. Toda koren tudi ulomek ne more biti; kajti ako bi bil jednak, recimo, ulomku enačba kjer sta r in s relativni praštevili, ondaj bi morala ntna potenca tega ulomka, imajočega najjednostavnejšo obliko, jednaka biti celemu številu a, kar ni mogoče.

b) Vender ima izraz koren tudi v tem slučaji prav določen pomen. Med celi števili p in p + 1 uvrstimo namreč lahko ulomke z imenovalcem m. Ako vzmnožimo števila

na ntno potenco, ondaj je število a med dvema sosednima takima potencama, n. pr. med ulomek in ulomek, tedaj koren med številoma p + c/m in p + c + 1/m, katerih diferenca je 1/m.

Ako vzamemo tedaj za koren število ulomek ali pa ulomek, potem je pogrešek manjši od 1/m. Ker pa vzamemo lahko m takó velik, 1/m takó majhen, kakor le hočemo, zato je môči koren takó natančno določiti, kakor le hočemo.

p + c/m imenujemo spodnjo, p + c + 1/m zgornjo približno vrednost izraza koren.

N. pr. Recimo, da nam je določiti koren. Ker je 2 med 12 = 1 in 22 = 4, zato je koren med 1 in 2. Dalje je 2

med enačba i. t. d.

Zaradi tega je koren med števila i. t. d.

Iz tega je razvidno, da je koren med dvema številoma, kateri je môči takó zbližati, kakor le hočemo, da ima torej koren določeno vrednost; te vrednosti ne moremo sicer s popolno natančnostjo določiti, a določimo jo lahko s toliko natančnostjo, s kolikoršno jo le hočemo.

§ 191.

Števila, katerih ni môči niti s celimi števili niti z ulomki natančno izraziti, a z ulomki približno takó natančno, kakor le hočemo, imenujemo iracijonalna števila (irrationale Zahlen) v nasprotje celim in ulomljenim številom, katera zovemo racijonalna števila (rationale Zahlen).

Z iracijonalnimi števili računati, pravi se, z njih približnimi vrednostimi računati. Ker so pa te približne vrednosti racijonalna števila, veljajo vsi občni izreki, katere smo o racijonalnih številih dokazali, tudi o iracijonalnih številih.

§ 192.

Ulomek, čegar imenovalec je iracijonalen monom ali binom, pretvorimo lahko, ne da bi mu izpremenili vrednosti, na takega, ki ima racijonalen imenovalec; v ta namen treba le števec in imenovalec s primernim faktorjem pomnožiti. Ulomek iracijonalnega imenovalca oprostiti, pravi se, imenovalec poracijonaliti (den Nenner rational machen).

Tu se hočemo pečati le z nekaterimi lažjimi slučaji.

1.) Ako hočemo dati ulomku, imajočemu obliko ulomek, kjer je n > m, racijonalen imenovalec, treba le števec in imenovalec z ulomek pomnožiti. Kajti

enačbe.

2.) Ako nam je pretvoriti ulomek, imajoč obliko ulomek ali

ulomek, na takega, ki ima racijonalen imenovalec, treba le števec in imenovalec z enačba ali enačba pomnožiti. Kajti

enačbe.

§ 193.

Ako se nahaja v jednačbi neznanka pod korenjim znakom, môči je koren odpraviti. V ta namen treba le jednačbo takó urediti, da stoji koren, katerega hočemo odpraviti, sam na jedni strani in potem oba jednačbina dela s korenjim eksponentom vzmnožiti. V jednačbi neznanko korenjega znaka oprostiti, pravi se, jednačbo poracijonaliti (die Gleichung rational machen).

Recimo, da nam je poracijonaliti n. pr. jednačbo enačba. Jednako z jednakim vzmnoženo dá jednako. Vzmnoživši oba dva dela dane jednačbe na kvadrat, dobimo racijonalno jednačbo 2x + 3 = 25, katero prav lahko razrešimo.

Kakó je izračunavati kvadratni koren.

§ 194.

Iz zakona (§ 178.), po katerem so sestavine polinoma v njega kvadratu sestavljene, je razvidno, da je kvadratni koren urejenega polinoma takó-le računati:

1.) Prvi člen urejenega polinoma je kvadrat prvega korenovega člena. Da dobiš torej prvi korenov člen, izračunaj kvadratni koren prvega radikandovega člena, potem pa njega kvadrat od radikanda odštej.

2.) Prva dva člena v ostanku imata oni dve sestavini, kateri dá naslednji korenov člen v kvadratu, in sicer je prvi člen v ostanku produkt iz dvojnega že najdenega korena in naslednjega korenovega člena. Ako razdeliš tedaj prvi člen ostanka z dvojnim že znanim korenom, dobiš naslednji korenov člen. Sedaj izračunaj sestavini, kateri dá ta novi korenov člen v kvadratu; v ta namen prištej ta novi člen (§ 179., dostav. 1.) k dvojnemu že prej znanemu korenu,

to vsoto pomnoži z ravno tem členom, dobljeni produkt pa odštej od polinomovega ostanka.

3.) Takisto nadaljuj. Ako ne dobiš slednjič nikakeršnega ostanka, ondaj je dani polinom popoln kvadrat in kvadratni koren racijonalen; ako dobiš pa ostanek, ondaj je koren iracijonalen.

N. pr.

enačba.

§ 195.

Prav taká izvira iz zakona (§ 179.), po katerem so sestavine posamičnih korenovih številk v kvadratu sestavljene, da je kvadratni koren celega dekadnega števila takó-le računati:

1.) Število razdeli, pri jednicah začenši, na razdelke po dve številki; prvi razdelek na levi more imeti tudi le jedno številko. Potem poišči največje številke, katere kvadrat ima prvi razdelek na levi v sebi; to zapiši kot prvo številko v koren. To številko vzmnoži na kvadrat in tega odštej od prvega razdelka.

2.) K ostanku pripiši naslednji radikandov razdelek. Na ta način dobljeno število brez zadnje številke razdeli z dvojnim že znanim korenom in kvocijent zapiši kot novo številko v koren, ob jednem pa tudi k divizorju. Takó izpremenjeni divizor pomnoži s to novo korenovo številko, produkt pa odštej od dividenda, h kateremu pa treba privzeti prej izpuščeno številko.

3.) Takó nadaljuj, dokler nisi vzel vseh radikandovih razdelkov v račun.

Ako dobiš slednjič ostanek, ondaj je kvadratni koren danega števila iracijonalno število. Da to približno določiš, pripiši k zadnjemu in vsakemu naslednjemu ostanku po dve ničli, sicer pa računaj kakor prej; v kvadratnem korenu postavi decimalno točko, predno vzameš prvi dve ničli v račun.

N. pr.

enačbe.

Produkt iz vsakokratnega izpremenjenega divizorja in nove številke moreš tudi takój, ko množiš, od dividenda odštevati. Prejšnja dva primera bi dobila potem tó-le obliko:

enačbi.

§ 196.

1.) Kvadratni koren decimalnega ulomka je prav takó računati kakor kvadratni koren celega števila: le treba decimalni ulomek od decimalne točke proti levi in proti desni na razdelke po dve mesti razdeliti ter v korenu decimalno točko postaviti, predno se vzame prvi razdelek decimalk v račun. Kadar ima zadnji razdelek decimalk na desni le jedno številko, tedaj pripiši mu ničlo, da bode število decimalk sodo.

N. pr. enačbe.

2.) Ako je izračunati kvadratni koren navadnega ulomka, ondaj izračunaj kvadratni koren njegovega števca in imenovalca; ali pa pretvori navadni ulomek na decimalnega ter potem izračunaj kvadratni koren tega.

N. pr. enačba.

§ 197.

Račun je môči izdatno prikrajšati, ako se zahteva v kvadratnem korenu le določeno število decimalk. V tem slučaji izračunaj na navadni način polovico korenovih številk in še jedno, k ostanku pa ne pripiši novega razdelka, nego v novem divizorji izpusti zadnjo številko, potem pa izračunaj naslednje korenove številke, uporabljajoč okrajšano delitev.

Ako bi hotel določiti n. pr. koren na 5 decimalk natančno, tedaj vsega skupaj na 7 veljavnih številk, izračunal bi prve 4 številke na navadni način, zadnje 3 pa z okrajšano delitvijo. Dobil bi:

Kakó je izračunavati tretji koren.

§ 198.

Iz tvorbnega zakona za tretjo potenco mnogočlenskega izraza (§ 180.) izvira obratno, da je računati tretji koren urejenega polinoma takó-le:

1.) Za prvi člen iskanega korena vzemi tretji koren prvega radikandovega člena ter njega tretjo potenco od radikanda odštej.

2.) Prvi člen ostalega polinoma razdeli s trojnim kvadratom že znanega korena; kvocijent je naslednji korenov člen. Potem izračunaj one sestavine, katere dá ta novi korenov člen v kubu, namreč trojni kvadrat prej že znanega korena, pomnožen s tem členom, trojni prejšnji del korena, pomnožen s kvadratom tega člena in kub tega člena; vsoto vseh teh sestavin odštej od prejšnjega radikandovega ostanka.

3.) Takisto nadaljuj. Ako ne dobiš slednjič nikakeršnega ostanka, ondaj je tretji koren racijonalen, sicer pa iracijonalen.

N. pr.

§ 199.

Iz tvorbnega zakona za kub celega dekadnega števila (§ 181.) je razvidno, da treba tretji koren dekadnega celega števila takó-le računati:

1.) Število razdeli, pri jednicah začenši, proti levi na razdelke po tri številke; prvi razdelek na levi sme imeti tudi le dve ali le jedno številko. Potem poišči največje številke, katere tretja potenca ne presega števila v prvem razdelku; le-tó zapiši kot prvo številko v koren, potem pa jo vzmnoži na tretjo potenco in to odštej od prvega radikandovega razdelka.

2.) K ostanku pripiši naslednji razdelek; na ta način dobljeno število brez zadnjih dveh številk razdeli potem s trojnim kvadratom že znanega korena, kvocijent pa zapiši kot novo številko v koren. Potlej izračunaj one sestavine, katere dá ta nova korenova številka v kubu, namreč trojni kvadrat že prej znanega korena, pomnožen s to številko, trojni prej znani koren, pomnožen s kvadratom te številke in kub te številke; prvo sestavino zapiši pod dividend, vsako naslednjo pa za jedno mesto dalje proti desni, potem pa odštej vsoto vseh treh sestavin od dividenda, privzemši njega prej izpuščeni dve številki.

3.) Takó nadaljuj, dokler nisi vzel vseh radikandovih razdelkov v račun.

Ako dobiš slednjič ostanek, ondaj je tretji koren iracijonalen, izračunaš pa ga lahko takó natančno, kakor le hočeš. V ta namen postavi v korenu decimalno točko, potem pa pripiši k zadnjemu in vsakemu naslednjemu ostanku po tri ničle, sicer pa računaj kakor prej.

N. pr.

§ 200.

1.) Prav takó je računati tudi tretji koren decimalnega ulomka; le treba decimalni ulomek od decimalne točke proti levi in proti desni na razdelke po tri številke razdeliti ter v korenu decimalno točko postaviti, predno se vzame prvi razdelek decimalk v račun.

N. pr.

Tretji koren navadnega ulomka najdeš, ako izračunaš tretji koren njegovega števca in imenovalca, ali ako navadni ulomek pretvoriš na decimalen ulomek ter tega tretji koren izračunaš. N. pr.

§ 201.

Račun je môči izdatno prikrajšati, ako treba v tretjem korenu določeno število številk izračunati. V ta namen izračunaj polovico zahtevanih korenovih številk na navadni način; druge številke dobiš s pomočjo okrajšane delitve, in sicer vzemi zadnji ostanek za dividend, trojni kvadrat že najdenega korena brez zadnje številke pa za divizor.

Ako treba n. pr. koren na 5 decimalk izračunati, dobiš

Naloge.

Spravi pri téh-le korenih faktor pod korenj znak:

76. Pretvori na korene ter izračunaj:

104. Okrajšaj té-le korene:

106. Pretvori té-le korene na skupen korenj eksponent:

Pretvori té-le ulomke na take, ki imajo racijonalen imenovalec

Poracijonali té-le jednačbe, potem pa jih razreši:

Izračunaj té-le iracijonalne korene na 5 decimalk:

Izračunaj té-le iracijonalne korene na 5 decimalk:

Naloge.

Naloge.

enačbe

Naloge.

1.* Vsota dveh števil je 47, njiju diferenca 9; kateri števili sta to?

2.* Katerih dveh števil je ne le vsota nego tudi kvocijent 3?

3.* Diferenca dveh števil je 12, 3kratnik prvega pa je jednak 5kratniku druzega; kateri števili sta to?

4. Polovica nekega števila je za 18 večja nego petina druzega števila; dvojno drugo število pa je za 32 večje od prvega. Kateri sta te dve števili?

5. Mislim si dve števili, kateri sta za 1 različni. Ako razdelim večje s 4 in manjše s 5, različna sta tudi kvocijenta za 1; kateri števili sem si mislil?

6. Diferenca dveh števil je 10; ako odštejem večje od 135, manjše od 105, imata se ostanka kakor 9 : 7. Kateri števili sta to?

7. Razmerje med dvema številoma je 2 : 3; ako prišteješ k vsakemu 16, ondaj je razmerje med vsotama kakor 10 : 13. Kakó se zoveta števili?

8. Ako povečaš prvo izmed dveh števil za 10, ondaj je 4krat toliko kakor drugo; ako povečaš pa drugo za 16, potem je 3krat toliko kakor prvo. Kateri števili zadostujeta tema dvema pogojema?

9.* Razstavi število 50 takó na dva dela, da bode prvi za 6 manjši od druzega.

10. Razstavi število 32 takó na tri dele, da bode prvi za 5, drugi za 3 večji od tretjega; kateri so ti trije deli?

11. Razstavi število 48 takó na tri dele, da bode razmerje med njimi kakor 4 : 5 : 7.

12. Število 76 razstavi takó na dva dela, da bode, ako razdeliš večjega z 11 in manjšega s 7, vsota teh kvocijentov 8.

13.* Mislim si ulomek. Vsota iz števca in imenovalca je 16; ako pa števec za 2 povečaš in imenovalec za 2 zmanjšaš, dobiš recipročno vrednost onega ulomka. Kateri ulomek sem si mislil?

14. Kateri ulomek se izpremeni na ulomek 1/4, ako odšteješ od njega števca in imenovalca 3; in na ulomek 1/2, ako prišteješ k njega števcu in imenovalcu 5?

15. Izmed treh števil je prvo jednako polovici vsote iz druzih dveh, drugo tretjini vsote iz prvega in tretjega, tretje pa je za 10 manjše od vsote prvih dveh. Katera so ta števila?

16. Poišči tri števila, katera imajo tá-le svojstva: Ako zmanjšaš vsako izmed prvih dveh za 3, ondaj se imata ostanka kakor 1 : 2; ako zmanjšaš prvo in tretje vsako za 4, dobiš ostanka, katera se imata kakor 1 : 3; ako povečaš drugo in tretje vsako za 5, potem je razmerje med vsotama 3 : 4.

17.* V nekem deželnem zboru se je vzprejel neki predlog z večino 10 glasov. Koliko poslancev je glasovalo za in koliko zoper predlog, ako jih je 64 sploh glasovalo?

18.* Sredi maja je nekje dan za 6 ur 15 minut daljši od noči; kakó dolg je dan, kakó dolga noč?

19.* Neki deček pravi: Jaz in moj oče imava skupaj 40 let; a moja leta so le 5i del očetovih let. Koliko let ima oče, koliko sin?

20. Oče, ki ima 25 let več od sina, bode jih imel čez 5 let dvakrat toliko kakor sin. Koliko let ima oče, koliko sin?

21. Oče, kateri ima sedaj 3krat toliko let kakor njegov sin, bode jih imel čez 12 let le dvakrat toliko kakor sin. Koliko let ima oče, koliko sin?

22. Tri osebe razdelé med seboj 350 gl., in sicer takó, da dobi B 18 gl. več kakor C, in A 14 gl. več kakor B; koliko dobi vsaka oseba?

23. Med tri osebe se razdeli neka, vsota takó, da dobi B 20 gl. menj nego A, in C 20 gl. menj nego B; vsota sama je za 25 gl. večja nego četverni C-jev delež. Koliko dobi vsak?

24.* A ima v dveh mošnjah 206 gl., in sicer v prvi 44 gl. več nego v drugi; koliko ima v vsaki?

25. Dve osebi imata vsaka nekaj denarja. Ako bi dal A B-ju 4 gl., imela bi oba jednako; ako bi dal pa B A-ju 5 gl., potem bi imel A dvakrat toliko kakor B. Koliko denarja ima vsak?

26. Na mizi leži nekaj denarja. A pravi: Jaz imam dvakrat toliko denarja; B, jaz ga imam 3krat toliko; C, jaz ga imam le na pol toliko, kolikor ga imata A in B skupaj. Vsi skupaj imajo 240 gl.; koliko denarja je na mizi in koliko ga ima vsak?

27.* V neki družbi je 88 oseb, gospodov in gospá, in sicer je razmerje med številom gospodov in gospa 5 : 6. Koliko gospodov in koliko gospá je v družbi?

28. V neki družbi je bilo 3krat toliko gospodov kakor gospá; pozneje pa so prišli še 3 gospodje s 4 gospémi in potem je bilo 2krat toliko gospodov kakor gospá; koliko gospodov in gospá je bilo s prva v družbi?

29. V neki družbi je bilo 2krat toliko možkih kakor žensk; ko je pa 6 gospodov s svojimi gospémi odšlo, ostalo je 5krat toliko možkih kakor žensk. Koliko možkih in koliko žensk je bilo s prva v družbi?

30.* Neki kapital daje na leto 420 gl. obrestij; ako bi bil po 1 % več naložen, dajal bi 84 gl. obrestij več. Kolik je kapital, koliki so procenti?

31. Nekdo ima izposojena dva kapitala, prvega po 4 %, druzega po 5 %; oba dva skupaj mu neseta na leto 1000 gl. obrestij. Ako bi bil pa vsak kapital po 1 % več izposodil, dobil bi vsako leto 220 gl. več obrestij. Kolika sta kapitala?

32. Dva zidarja zidata zid; ako delata oba, sezidala bosta zid v 12 dneh; ako dela pa A 2 in B 3 dni, potem sezidata v tem času 5i del vsega zidú. V koliko dneh dovršil bi delo vsak sam?

33. Za neko skupno podjetje je dal A 10000 gl., B 12000 gl. Ko sta razdelila dobiček, dobil je A 800 gl. menj nego B. Koliko dobička je imel vsak?

34. Hieron, kralj Sirakuški, je imel krono od zlata in srebra, tehtajočo 20 funtov, pod vodo pa le 19 8/9 funta; koliko zlata in koliko srebra je bilo v kroni, ako izgubi v vodi na videz zlato 1/19 in srebro 1/10 svoje teže?

35. Nekdo ima dvoje vino. Ako zmeša 12 litrov boljšega in 4 litre slabšega vina, velja 1 liter zmesi 52 kr.; ako zmeša pa 6 litrov boljšega in 10 litrov slabejšega vina, stane liter zmesi 46 kr. Po čem je liter vsakega vina?

36. V dveh sodih je 351 litrov vina; ako ga vzameš iz prvega šestino in iz druzega tretjino, ostane ti ga v obeh sodih jednako. Koliko litrov vina je v vsakem sodu?

37. V dveh sodih je v vsacem nekaj vina. Ako izliješ iz prvega toliko v druzega, kolikor ga je že v njem; potem iz druzega v prvega toliko, kolikor ga je sedaj notri; potlej zopet iz prvega v druzega toliko, kolikor ga je bilo prej v njem ostalo: ondaj ga je v obeh sodih jednako, namreč po 72 litrov. Koliko litrov je bilo s prva v vsacem sodu

38. Izmed dveh cevij daje prva v 10 minutah 17 litrov menj vode nego druga v 9 minutah; obe dve dasta v 5 minutah 305 litrov. Po koliko litrov daje vsaka v jedni uri?

39. V vodnjak priteka voda iz dveh cevij. Ako je odprta prva 2, druga 1 1/2 ure, nateče se 25 1/2 hektolitra vode; ako je pa prva 1 3/3, druga pa 1 1/3 ure odprta, ondaj 3 9/10 hektolitra menj. Po koliko litrov vode daje vsaka cev v jedni uri?

40. Dva popotnika sta 9 kilometrov drug od druzega oddaljena. Ako si gresta naproti, snideta se v 1 uri; ako gresta pa v isto mer, doide hitrejši druzega v 5 urah. Po koliko kilometrov prehodi vsak v jedni uri?

Naloge.

enačbe

Napiši jednačbe, ki imajo naslednje korene:

Naloge.

1. Produkt iz četrtine in petine nekega števila je 180. Koliko je ono število?

2. Pomnoživši 5kratnik nekega števila z njega četrtino, dobimo 480. Koliko je število?

3. Ako razdeliš 192 z nekim številom, dobiš njega 3kratnik. Kakó se zove število?

4. Katero število treba za 6 povečati in za 6 zmanjšati, da bode produkt teh novih dveh števil 325?

5. Kolika je srednja geometrijska proporcijonala števil 48 in 363?

6. Ako povečaš 12kratnik nekega števila za 45, dobiš njega kvadrat. Koliko je število?

7. Ako prišteješ k nekemu številu 40 ter to vsoto z neizpremenjenim številom razdeliš, ondaj je kvocijent za 2 manjši nego prvotno število. Koliko je to?

8. Ako vzameš vsoto in diferenco iz nekega števila in pa 5, ondaj je vsota kvadratov dobljenih števil 178. Koliko je ono število?

9. Razstavi število 53 takó na dva sumanda, da bode njiju produkt 612.

10. Razstavi število 15 takó na dva dela, da bode vsota njiju kvadratov 113.

11. Razstavi število 15 takó na dva dela, da bode razmerje med njiju kvadratoma 4 : 9.

12. Katero število je za 19 manjše nego kvadrat prejšnjega števila?

13. Od katerega števila treba njega recipročno vrednost odšteti, da dobiš 2 1/10?

14. Števec in imenovalec nekega ulomka iznašata skupaj 33. Ako bi bil števec za 39 in imenovalec za 20 večji, bil bi ulomek dvakrat tolik. Kateri je oni ulomek?

15. Diferenca dveh ulomkov je 5/84 in števec jednega je na pol tolik kakor imenovalec druzega, imenovalec vsacega ulomka pa je za 1 večji od števca. Katera ulomka sta to?

16. Prosto padajoče telo preleti v prvi sekundi 4.9 m, poti pa rastejo kakor kvadrati časov. Koliko sekund potrebuje telo, da pade z višine 150 m?

17. A kupi za 117 gl. pšenice, in sicer plača za vsak hl 4 gl. menj nego je hl; koliko hl pšenice je A kupil?

18. Nekdo kupi njivo, katero potem kot stavben prostor zopet za 816 gl. proda. Pri prodaji ima prav toliko % dobička, kakor je za njivo goldinarjev dal. Za koliko je bil njivo kupil?

19. Oče zapusti svojim otrokom 14400 gl., katere naj bi na jednake dele med-se razdelili; kmalo po njegovi smrti umrjeta dva izmed njih in vsled tega dobi vsak izmed ostalih 1200 gl. več nego bi bil sicer dobil. Koliko otrok je zapustil oče?

20. Med več ubožcev treba 110 gl. na jednake dele razdeliti. Ker pa jih pride k razdelitvi 5 več nego se je pričakovalo, dobi vsak 1/5 gl. menj nego je bilo s početka določeno. Med koliko ubožcev se je razdelila ona vsota?

21. Trgovec naroči za 1080 gl. kave. Ker pa je med tem cena kavi poskočila, in sicer za 18 gl. pri vreči, dobi trgovec 2 vreči menj nego je pričakoval. Koliko vreč tedaj dobi?

22. Nekdo kupi za 400 gl. sukna; ako bi bil veljal m 1 gl. menj, dobil bi ga bil za oni denar 20 m več. Koliko m sukna je kupil?

23. Voznik ima nalogo, 15000 kg sena v mesto zvoziti. Ker naloži vsakokrat po 100 kg več nego je bilo s prva določeno, treba mu je 5krat menj peljati nego je prej mislil. Kolikokrat bi bil moral peljati?

24. Trgovec je imel v dveh letih zaporedoma isto toliko % dobička in na ta način je povečal svoj kapital od 12000 gl. na 15870 gl. Koliko % je imel dobička?

25. Izmed dveh popotnikov potrebuje prvi za 520 km 3 dni več nego drugi, ker prehodi ta po 12 km več na dan nego prvi. Koliko dnij potrebuje vsakteri za ono pot?

26. Poštni vlak pride v nekem času 100 km daleč; brzovlak pa potrebuje za isto daljavo 1 uro menj, ker predirja vsake 3 ure po 25 km več. Koliko km preleti poštni vlak vsako uro?

27. Drevesnica ima obliko pravokotnika, v katerem stoji 560 dreves v jednakih razdaljah; v vsaki vrsti po dolzem je 8 dreves več nego v vsaki po čez. Koliko dreves je v vsaki vrsti?

28. Pri nekem vozu ima zadnje kolo 2 m več v obsegu nego sprednje. Na poti, 6000 m dolgi, zavrti se sprednje kolo 500krat več nego zadnje. Kolik obseg ima sprednje kolo?

29. Iz soda, v katerem je bilo 144 l vina, odtočilo se ga je nekaj l ter prav toliko vode pritočilo; potem se je odtočilo prav toliko l zmesi ter z nova toliko vode pritočilo. V zmesi je bilo sedaj še 121 l čistega vina. Koliko l se je vsakokrat odtočilo?

30. Kakšen rezultat dobiš, ako postaviš v prejšnji nalogi za števili 144 in 121 občni števili a in b?

Občni izreki o logaritmih.

§ 215.

1.) Logaritem produkta je jednak vsoti iz logaritmov posamičnih faktorjev.

Dokaz. Vzemimo, da je b podloga in

logaritmi.

Pomnoživši vse jednáčbe na levi drugo z drugo, dobimo

enačba.

Da dobimo tedaj število MNP, treba podlogo b vzmnožiti na potenco m + n + p, ali m + n + p je logaritem števila MNP, tedaj

log MNP = m + n + p

ali, ako postavimo za m, n, p njih vrednosti,

log MNP = log M + log N + log P.

N. pr. enačbe.

2.) Logaritem ulomka (kvocijenta) je jednak logaritmu števca, zmanjšanemu za logaritem imenovalca.

Dokaz. Vzemimo, da je b podloga in

enačbe;

tedaj enačba,

zatorej enačba.

N. pr. enačbe.

3.) Logaritem potence je jednak logaritmu podloge, pomnoženemu s potenčnim eksponentom.

Dokaz. Vzemimo, da je b podloga in M = bm, tedaj log M = m. Vzmnoživši prvo jednačbo na ptno potenco, dobimo MP = bmp, tedaj

enačba.

N. pr. enačba.

4.) Logaritem korena je jednak logaritmu radikanda, razdeljenemu s korenjim eksponentom.

Dokaz. Recimo, da je b podloga in M = bm, tedaj log M = m. Ako razkorenimo prvo jednačbo s številom p, dobimo enačbe.

Naloge.

O logaritmovniku.

§ 218.

Logaritme vseh celih števil od 1 do 10000, ali od 1 do 100000 nahajamo zbrane v posebnih tabelah in to na 5, 6 ali 7 decimalk; tako zbirko imenujemo logaritmovnik (Logarithmentafeln). V logaritmovniku so le mantise logaritmov, kajti karakteristika se določi v vsakem slučaji lahko po § 216., 1.

Manjši logaritmovniki imajo le mantise četveroštevilčnih števil in te na pet ali šest decimalk. Logaritmi s petimi decimalkami zadostujejo pri navadnih praktičnih računih po polnem.

S pomočjo tacega logaritmovnika je môči najti na prav priprost način, katerega natančneje logaritmovnikov uvod opisuje, vsakemu številu njegov logaritem in obratno število, spadajoče k danemu logaritmu.

1.) Kakó je najti logaritem danemu številu.

V logaritmovniku poišči mantiso danega števila, za karakteristiko pa vzemi redovni eksponent najvišje veljavne številke.

a) Ako je število četveroštevno, poišči prve tri številke v prvem razpredelku na levi in od ondod pojdi v isti vrsti v oni razpredelek, kateri ima zgoraj in spodaj četrto številko za nadpis; tu najdeš zadnje tri številke mantise. Prvi dve številki stojita v razpredelku, z 0 zaznamenovanem, in sicer v isti vrsti, ali nekoliko bolj zgoraj, ali pa tudi v naslednji spodaj in to tedaj, kadar stoji pred zadnjimi tremi številkami mantise zvezdica. Takó je n. pr.

b) Ako ima dano število menj nego štiri številke, ondaj si mislimo toliko ničel pripisanih, da dobimo četveroštevilčno število. Ako treba n. pr. logaritma števila 38 poiskati, poišči mantiso za 3800.

c) Ako ima dano število pet ali šest številk, ondaj poišči najprej kakor zgoraj pod a) v logaritmovniku mantiso prvih štirih številk in pa diferenco med to in naslednjo večjo mantiso, ki je v logaritmovniku. Potem vzemi iz one pomočne tablice na desni, katera ima to diferenco na čelu, proporcijonalne dele za peto in šesto številko in te prištej k mantisi prvih štirih številk. N. pr.

enačbe

2.) Kakó je najti število k danemu logaritmu.

V logaritmovniku poišči številk, ki spadajo k dani mantisi in le-tém določi potem mestno vrednost; v ta namen daj najvišji številki ono mestno vrednost, katero zahteva karakteristika.

Prvih dveh mantisinih številk išči v razpredelku, z 0 zaznamenovanem, zadnjih treh pa v isti ali kateri naslednji vrsti, ali pa tudi med z zvezdicami zaznamenovanimi prejšnje vrste.

a) Ako najdeš vse mantisine številke v logaritmovniku, ondaj vzemi prve tri številke iskanega števila iz prvega razpredelka na levi in to v oni vrsti, v kateri si našel zadnje tri mantisine številke, četrto številko pa iz najzgornje ali najspodnje vrste onega razpredelka, v katerem so one mantisine številke. N. pr.

enačbe.

b) Ako pa ne najdeš dane mantise natančno v logaritmovniku, ondaj poišči najbližjo manjšo, ki je v logaritmovniku, in k tej četveroštevilčno število kakor pod a); to dá prve štiri številke iskanega števila. Potem izračunaj diferenco onih dveh v logaritmovniku nahajajočih se mantis, med katerima je dana mantisa, in tudi diferenco med dano in ono manjšo mantiso, iz te diference pa določi, uporabljajoč ono pomočno tablico, katera ima prvo diferenco na čelu, peto in šesto številko.

enačbe.

Kakó je z logaritmi računati.

§ 219.

V obče veljajo za računanje z logaritmi ista pravila kakor za dekadna števila, pomniti je le še tó-le:

1.) Ako dobiš pri seštevanji logaritmov dve karakteristiki, pozitivno in negativno, ondaj ji skrči. N. pr.

enačbi.

2. Ako je pri odštevanji minuend manjši od subtrahenda, ondaj prištej, da ne bode mantisa negativna, k minuendu toliko pozitivnih jednot, da bode večji nego je subtrahend, a potem vzemi za karakteristiko v ostanku prav toliko negativnih jednot. N. pr.

enačba.

3.) Ako si pomnožil logaritem, ki ima negativno karakteristiko, s katerim koli številom, skrči negativno karakteristiko in pa pozitivno, katero si morebiti dobil. N. pr.

enačba.

4.) Ako je razdeliti logaritem, ki ima negativno karakteristiko, s kakim številom, treba negativno karakteristiko, ako ni razdelna z onim številom, za toliko jednot povečati, da bode razdelna; prav toliko jednot moraš pa tudi k celotam pozitivne mantise prišteti. Na ta način se izogneš vlomljeni karakteristiki. N. pr.

enačbe.

Kakó je uporabljati Briggove logaritme.

§ 220.

Uporabljajoč občne izreke § 215., izpremeniš lahko množenje na seštevanje, deljenje na odštevanje, vzmnoževanje na množenje in razkorenjevanje na deljenje.

1.) Ako treba dvoje ali več števil drugo z druzim pomnožiti, vzemi njih logaritme ter jih seštej; vsota je logaritem produkta; ako poiščeš tedaj k onemu logaritmu število, je le-tó zahtevani produkt. N. pr.

enačbe.

2.) Ako je dvoje števil s pomočjo logaritmov drugo z druzim razdeliti, odštej divizorjev logaritem od logaritma dividendovega; ostanek je logaritem kvocijentov. Število, spadajoče k temu logaritmu, je zahtevani kvocijent. N. pr.

a) enačba.

b) enačbe.

3.) Kadar treba število na katero koli potenco vzmnožiti, poišči logaritem onega števila ter ga pomnoži s potenčnim eksponentom; produkt je logaritem iskane potence; potenco samo dobiš, ako poiščeš k onemu logaritmu število. N. pr.

enačbe.

4.) Da izračunaš določeni koren katerega koli števila, poišči njega logaritem in tega razdeli s korenjim eksponentom; kvocijent je logaritem zahtevanega korena; koren dobiš, ako poiščeš k temu logaritmu števila. N. pr.

enačbe.

§ 221.

Prav ugodno se dadé logaritmi uporabiti pri obrestno-obrestnih računih.

Ako je e končna vrednost, na katero naraste po p procentov naložen kapital a pri celoletnem kapitalizovanji v m letih, ondaj je po § 149.

enačba.

Ako logaritmujemo obe strani te jednačbe, dobimo

enačba,

in odtod

enačba.

S pomočjo teh jednačeb je môči, ako so izmed količin a, e, p, m tri znane, četrto izračunati. Kadar se obresti poluletno kapitalizujejo, treba mesto p in m oziroma p/2 in 2m postaviti.

Primeri.

1.) Na koliko narase kapital 1300 gl. v 25 letih, ako se računa 4 % obrestnih obrestij?

2.) Kateri kapital narase v 10 letih pri poluletnem kapitalizovanji in 5% obrestnih obrestih na 2000 gl.?

2000

3.) Po koliko % treba 614 gl. 19 let na obrestne obresti naložiti, da narastejo na 1859 gl.?

enačbe.

4.) Koliko let treba 2518 gl. po 5 % na obrestne obresti naložiti, da narastejo na 4522 gl.?

enačbe.

Naloge.

Poišči v logaritmovniku logaritme téh-le števil:

logaritmi

Poišči k tém-le logaritmom števila:

Izračunaj s pomočjo logaritmov té-le izraze:

96. Na koliko narase 860 gl. kapitala v 15 letih, ako se po 4 1/2 % na obrestne obresti naložijo?

97. Nekdo naloži 1600 gl. v hranilnici, katera plačuje 5 % obrestij ter te poluletno kapitalizuje; koliko mu bode morala hranilnica čez 10 let izplačati?

98. V gozdu je sedaj 35800 m3 lesú, na leto ga priraste po

2 1/2 %. Koliko lesú bode imel gozd čez 12 let?

99. Brezobresten kapital 9000 gl. je čez 10 let izplačen; kolika je njega gotova vrednost, ako se računa 5 % obrestnih obrestij?

100. Kateri kapital narase v 9 letih, po 4 1/2 % na obrestne obresti naložen, na 5234 gl.?

101. Neko mesto ima sedaj 36230 prebivalcev; koliko je imelo prebivalstva pred 30 leti, ako ga je vsako leto po 2 % prirastlo?

102. Na obrestne obresti naložen kapital 7537.8 gl. narase v 20 letih na 20000 gl.; po koliko % je naložen?

103. A posodi B-ju 250 gl. za 3 leta brez obresti, zato mu dá pa B dolžno pismo o 300 gl. Koliko % je dobil A, ako se računajo obrestne obresti?

104. V koliko letih narase kapital 500 gl. na 3041 gl., ako je po 5 % na obrestne obresti naložen?

105. V koliko letih se podvoji po 4 1/2 % na obrestne obresti naložen kapital pri poluletnem kapitalizovanji?

1. Bistvene knjige.

§ 8.

Bistvene knjige jednostavnega knjigovodstva so: inventarna knjiga, ako se inventure vsaka posebej ne pišejo in spravljajo, dnevnik, blagajniška knjiga in glavna knjiga.

O inventuri ali popisu.

Pri popisovanji imenja (§ 2.) se našteje najprej aktivno imenje. Začne se z gotovino, katera se prešteje. Potem se popišejo vrednostni papirji in menice v tuja mesta ter njih vrednost določi na podlogi dnevnega kurza. Na to se določi vrednost onim mestnim menicam, katere se nam bodo izplačale – diskont se navadno odšteva. Potem pride na vrsto zaloga blaga; to se v resnici izvaga, izmeri ali prešteje ter navadno po isti ceni zaračuna, kakor je bilo kupljeno. Ako je še kaj druzega, k trgovini spadajočega premičnega ali nepremičnega imenja, oceni in popiše se tudi to. Slednjič se naštejejo še dolžniki vsak posebej s svojim dolgom; ti se izpišejo iz glavne knjige. Vsota vseh teh izneskov kaže, koliko je aktivnega imenja.

Potem se popiše pasivno imenje. K temu spadajo najprej trate, katere bode treba plačati; tudi pri teh se diskont navadno

odšteva. Potlej se navedejo posamič vsi upniki s svojimi terjatvami. Ako se vsi ti izneski seštejejo, dobode se vse pasivno imenje.

Ako se od aktivnega imenja odšteje pasivno, kaže diferenca čisto imenje.

Ako se koncem kake dobe zopet imenje popiše ter čisto imenje prvotne inventure primerja s čistim imenjem te inventure (bilance) ondaj kaže diferenca med obema, koliko je bilo v tem času dobička ali izgube, kakor je zadnje imenje večje ali manjše od prejšnjega.

Natančnejša uredba inventure razvidna je iz naslednjega primera.

O dnevniku.

§ 9.

Dnevnik je v to odločen, da se vánj najprej jasno in natančno zapisujejo vsi oni poslovni dogodki, kateri provzročujejo dolg ali terjatev in to po vrsti, kakor prihajajo.

V dnevniku se zaznamenujejo strani z zaporedoma tekočimi števili.

Vsakemu postavko se dostavi datum, ime in bivališče trgovskega prijatelja, ob jednem se kratko in jasno pove, zakaj je postal naš dolžnik ali upnik, in slednjič izvesek; le-tá, se zapiše pri dolžnikih v razpredelek, z »debet« zaznamenovan, pri upnikih pa v onega, ki je s »credit« zaznamenovan. Najprej se zapišejo v dnevnik terjatve in dolgovi, navedeni v inventuri.

V pojasnilo služi naj naslednji primer:

O blagajniški knjigi.

§ 10.

V blagajniško knjigo se zapisujejo vsi dohodki in razhodki v gotovini, in sicer vsak dan sproti.

V blagajniški knjigi se zaznamenujeta po dve nasprotni strani z istim številom. Leva stran dobiva nadpis »debet« ali »dohodki«, desna »credit« ali »razhodki«. Na levi strani se zabeležuje prejeti, na desni izdani denar. Vsakemu postavku se dostavlja 1.) leto, mesec in dan; 2.) kratko pojasnilo, od koga in zakaj se je denar prejel, ali komu se je dal in zakaj, 3.) iznesek.

Kadar je jedna stran polna, seštejejo se izneski dohodkov in razhodkov in vsoti se preneseta na naslednji dve strani.

Koncem vsacega meseca se račun blagajniške knjige sklene. V ta namen se seštejejo dohodki in razhodki, potem se zadnja vsota od prve odšteje in diferenca, saldo imenovana, se postavi kot ostanek v blagajnici (Cassabestand) na stran razhodkov; vsled tega postaneta vsoti na obeh straneh jednaki. Te vsoti se zapišeta pod črti, kateri sta se prej v razpredelkih za izveske potegnili, in pod vsako se potegne nekoliko nižje potem še črta sklepovnica. Slednjič se prenese saldo pod prvi dan naslednjega meseca kot prejemek na nov račun in to zaradi tega, da je razvidno, koliko je v blagajnici denarja.

V pojasnilo pridejan je v naslednjem obrazec blagajniške knjige.

O glavni knjigi.

§ 11.

Namen glavni knjigi je, da nam pojasnjuje, koliko nam je vsaka oseba, s katero smo v trgovski zvezi, dolžna, ali koliko ima od nas terjati.

V njej ima vsak trgovsk prijatelj svoj račun (konto); le-tá ima dve nasprotni, z istim številom zaznamenovani strani, zgoraj v sredi pa kot nadpis ime in bivališče trgovskega prijatelja. Na levo, z »debet« zaznamenovano stran se zapisujejo vsi oni postavki, za katere je postal trgovski prijatelj naš dolžnik, na desno, s »credit« zaznamenovano stran pa vsi oni, za katere je postal naš upnik.

Na jeden in isti folij (folium) pa postavimo lahko tudi dva ali tri račune, ako že najprej vemo, da bodo posamič le malo prostora potrebovali.

Na konci se doda glavni knjigi abecedno urejen imenik vseh onih oseb, katerim so se računi zapisali in k vsakemu imenu se dostavi število folija, na katerem je dotični račun.

V glavno knjigo se prepisujejo postavki iz dnevnika in blagajniške knjige.

Iz dnevnika se morajo prepisati vsi postavki v glavno knjigo, kajti v njem so zabeleženi le taki dogodki, ki provzročujejo dolg ali terjatev, in sicer pod »debet« ali pod »credit« dotičnega računa, kakor so v dnevniku pod »debet« ali pod »credit« zapisani.

Iz blagajniške knjige pa se prepišejo v dotične račune glavne knjige le oni postavki, kateri so se prejeli (izdali) v ta namen, da se kaka terjatev (dolg) ali deloma ali po polnem poplača. Tudi prepisujejo se tu postavki drugače nego iz dnevnika. Dohodki so v blagajniški knjigi pod »debet« zapisani; a ker se morajo plačevalcu na korist zapisati, treba jih je postaviti v njegovem računu v glavni knjigi pod »credit«. Obratno pa je treba razhodke, kateri so v blagajniški knjigi pod »credit« zapisani, prejemniku v dolg zapisati, torej jih v njegov račun v glavni knjigi pod »debet« zapisati.

Prepisujoč posamične postavke v dotični račun glavne knjige zapiši na dotično stran: 1.) datum, 2.) stran dnevnika ali blagajniške knjige, na kateri je zapisan dotični postavek, 3.) kratko pojasnilo, zakaj je postala ona oseba naš dolžnik ali upnik in 4.) iznesek.

– Vsakemu postavku je v glavni knjigi posebna vrsta odločena; vrste naj bodo druga od druge jednako oddaljene, da ne bode môči pozneje kaj med nje zapisati.

V znamenje, da si postavek v glavno knjigo prepisal, zapiši v takó zvani kazalni razpredelek (Bezugscolonne) dnevnika ali blagajniške knjige pred prepisani postavek število folija glavne knjige.

§ 12.

Ako treba glavno knjigo koncem katere koli dobe skleniti, seštejejo se izneski vsacega računa pod »debet« in pod »credit«, potem pa se manjša vsota od večje odšteje; razliko imenujemo saldo. Ako je vsota vseh posamičnih izneskov pod »debet« večja od vsote pod »credit«, ondaj nam je oseba, za katero račun velja, več dolžna nego ima od nas terjati; ona je tedaj v resnici naš dolžnik, in saldo kaže, koliko nam je dolžna. Ako pa je pod »credit« večja vsota nego pod »debet«, ondaj ima oseba več od nas terjati nego nam je dolžna, in saldo kaže, koliko ima sploh od nas terjati.

Ako se zapiše saldo na ono stran, kjer se je dobila manjša vsota, postaneta obe vsoti jednaki. Pod tema jednakima vsotama se potegnejo potem sklepovne črte, prazni prostor pa se preseče s prečno črto. Ako je na vsaki strani le po jeden postavek tudi potem, ko se je saldo zapisal, treba le črte sklepovnice potegniti.

Ker se zapisuje saldo le zaradi tega na ono stran, kjer je manjša vsota, da postaneta obe vsoti jednaki, zato je treba, da se pravi prejšnji račun spozna, isti saldo v novem računu na nasprotno stran zapisati. Ker se je postavil saldo jedenkrat pod »debet«, drugikrat pa pod »credit«, izpremenil se ni račun prav nič, a doseglo se je to, da je prejšnji račun poravnan, in da izražaje v novi račun prepisani saldo rezultat prejšnjega računa.

V pojasnilo so sestavljeni v naslednjem trije računi glavne knjige.

2. O postranskih ali pomočnih knjigah.

O pismovnem prepisniku.

§ 13.

Knjigo, v katero se prepisujejo trgovska pisma, katera piše trgovec svojim trgovskim prijateljem, zovemo pismovni prepisnik.

V pismovnem prepisniku se zaznamenujejo strani z zaporedoma tekočimi števili. Pri vsakem prepisu se zapiše v prvo vrsto na levo kraj, kamor je pismo namenjeno; v sredo ime trgovskega prijatelja, kateremu smo pisali, in na desno datum. Potem se začne v drugi vrsti prepis pisma od besede do besede. Končni poklon se kot nebistvena reč izpušča. Pod prepis se potegne še prečnica.

Pismovni prepisnik ima na konci abecedni imenik vseh trgovcev, katerim so se pisma odposlala; v ta imenik treba precej, ko se je pismo prepisalo, zapisati stran, na kateri se prepis nahaja.

O fakturni knjigi.

§ 14.

to knjigo se prepisujejo od vnanjih trgovcev prejete fakture od besede do besede; ob jednem se spodaj dostavlja vozarina in drugi stroški, navadno tudi kalkulacija.

Za blago, katero se doma kupi ali proda, ni treba posebne postranske knjige, ako so dotični računi v dnevniku in blagajniški knjigi natanko zabeleženi.

O skontrovnih knjigah.

§ 15.